Formel statt Vierfeldertafel verwenden - welcher Satz?

10.11.2015, 01:13

poschmann

Formel statt Vierfeldertafel verwenden - welcher Satz?

Meine Frage:
Ich habe eine Aufgabe zunächst mit einer Vierfeldertafel gelöst und versuche nun eine Formel/Herleitung zu finden, um es auch ohne Vierfeldertafel lösen zu können.

Aufgabe:
In einer Population mit 36% Rauchern haben 4% ein Lungenkarzinom entwickelt und 3% sind Raucher mit Lungenkrebs.
Alle Prozentwerte sind auf die Population bezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach diesen Daten ein Raucher kein Lungenkrebs bekommt?

Meine Ideen:
Raucher: R
Krebs: K

$\begin{eqnarray*} P(R)=0.36 \Rightarrow P(\overline{R}) = 0.64 P(K)=0.04 \Rightarrow P(\overline{K}) = 0.96 P_R(K)=0.03 \end{eqnarray*}$

Gesucht:
$\begin{eqnarray*} P_R(\overline{K}) \end{eqnarray*}$

Vierfeldertafel:
[attach]39672[/attach]

Aus der Tafel kann man ablesen, dass:
$\begin{eqnarray*} p(\overline{K} \cap R) = p(R) - p_R(K) \end{eqnarray*}$

Mit dem Multiplikationssatz folgt:
$\begin{eqnarray*} p(\overline{K} \cap R) = p_R(\overline{K}) \cdot p(R) \Leftrightarrow p_R(\overline{K}) = \frac{p(\overline{K} \cap R)}{p(R)} = \frac{p(R) - p_R(K)}{p(R)} = \frac{0.33}{0.36} = 0.91 \end{eqnarray*}$

Ich hab mich jetzt gefragt, ob man das Ablesen aus der Tafel nicht durch eine Formel/Herleitung ersetzen kann.

Also quasi warum folgt aus dem Satz von Bayes, dass
$\begin{eqnarray*} p(\overline{K} \cap R) = p(R) - p_R(K) \end{eqnarray*}$

Hat da jemand einen Ansatz? (Oder hab ich ggf. schon vorher einen Fehler gemacht?).

In unserem Skript habe ich nur Folgerungen gefunden, welche Multiplikation verwenden, aber keine Folgerung mit Addition/Subtraktion. Die Ausnahme wäre der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit, aber den kann man hier nicht anwenden.

11.11.2015, 11:51

klauss

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RE: Formel statt Vierfeldertafel verwenden - welcher Satz?

Zitat:

Original von poschmann
Aus der Tafel kann man ablesen, dass:
$\begin{eqnarray*} p(\overline{K} \cap R) = p(R) - p_R(K) \end{eqnarray*}$

Das sehe ich nicht. Aus der Tafel kann man ablesen, dass
$\begin{eqnarray*} P(\overline{K} \cap R) = P(R) - P(K \cap R) \end{eqnarray*}$ ,
denn
$\begin{eqnarray*} (\overline{K} \cap R) \cup (K \cap R)=R \end{eqnarray*}$
Ferner ist
$\begin{eqnarray*} P_R(K)=\frac{1}{12}\neq P(K\cap R) \end{eqnarray*}$

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