Hilfe bei einigen Aufgaben zur Logik

10.11.2015, 14:20	1893heyhey	Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfe bei einigen Aufgaben zur Logik Meine Frage: Hallo ihr Lieben, ich muss zugeben, dass ich mich speziell für meine Frage in diesem Forum angemeldet habe. Ich hoffe aber, dass ich Gefallen an diesem Forum finde und eventuell anderen auch mal bei ihren Fragen helfen kann (auch wenn ich nicht der super Mathe-Freak bin). Ich habe folgendes Problem: Für mein Studium muss ich einige Aufgaben lösen. Ich glaube, dass ich das auch ganz gut hinbekommen habe, bin mir aber oft nicht sicher (insbesondere auch was die Schreibweisen angeht). Ich möchte einfach nichts riskieren durchbzufallen, und bitte euch deswegen, mal einen Blick auf meine Aufgaben und Lösungen zu sehen. Aufgabe 1: Es soll geprüft werden, ob diese Aussage eine Tautologie ist: $\begin{eqnarray} (A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (\neg B\Rightarrow \neg A) \end{eqnarray}$ Aufgabe 2: Man soll die logische Äquivalenz von diesen Aussagen zeigen: a) $\begin{eqnarray} \neg (A\Rightarrow B)=A\wedge \neg B \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} A\Leftrightarrow B=(A\wedge B)\vee (\neg A\wedge \neg B) \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} A\vee \neg B\Rightarrow (A\wedge B)\vee C=B\vee C \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} \neg (A\wedge B)=\neg A\vee \neg B \end{eqnarray}$ e) $\begin{eqnarray} \neg (A\vee B)=\neg A\wedge \neg B \end{eqnarray}$ f) $\begin{eqnarray} (A\vee B)\wedge C=(A\wedge C)\vee (B\wedge C) \end{eqnarray}$ Aufgabe 3: Hier soll man begründet entscheiden, ob diese Behauptung wahr ist: "Für A und B gilt immer: $\begin{eqnarray} A\Rightarrow B=\neg A\Rightarrow \neg B \end{eqnarray}$ " Aufgabe 4: x sei eine natürliche Zahl. Man soll nun die Richtigkeit von diesen Aussagen prüfen: a) $\begin{eqnarray} \exists x\quad :\quad x+1=x \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \forall x\quad :\quad { x }^{ 2 }+x=x(x+1) \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \forall x\quad :\quad x\ge 2 \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} \exists x\quad :\quad { (x+1) }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+3x \end{eqnarray}$ Aufgabe 5: Hier sollen die Aussagen aus Aufgabe 4 negiert werden und auf Richtigkeit überprüft werden. Aufgabe 6: Hier sollen diese Aussagen in Quantorenschreibweise geschrieben und anschließend negiert werden: a) Alle Aufgaben auf diesem Zettel sind leicht. b) Es gibt eine natürliche Zahl x mit der Eigenschaft 5+x=2. c) Zu zwei beliebigen natürlichen Zahlen x und y gibt es eine natürliche Zahl z, so dass x+y=z. Aufgabe 7: Folgende Aussagen sollen unter Verwendung von $\begin{eqnarray} \forall \exists \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \exists \forall \end{eqnarray}$ : a) Jeder Kreis hat einen Mittelpunkt. b) Das Verhältnis von Diagonale und Seite eines Quadrats ist konstant. c) Jede gerade Zahl ist Summe von zwei Primzahlen. d) Es gibt eine reele Zahl r, s.d. r+x=r für alle $\begin{eqnarray} x\epsilon R \end{eqnarray}$ Aufgabe 8: Richtig oder falsch? a) $\begin{eqnarray} \forall r\quad \epsilon \quad R\quad \exists s\quad \epsilon \quad R\quad :\quad r+s=0 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \exists r\quad \epsilon \quad R\quad \forall s\quad \epsilon \quad R\quad :\quad r+s=0 \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \forall r\quad \epsilon \quad R,\quad r\neq 0\exists s\quad \epsilon \quad R\quad :\quad r\cdot s=1 \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} \exists r\quad \epsilon \quad R,\quad r\neq 0\forall s\quad \epsilon \quad R\quad :\quad r\cdot s=1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Folgendes habe ich bisher gemacht: Aufgabe 1: Ich habe eine Wahrheitstafel erstellt und festgestellt, dass 4x wahr herauskommt. Also ist es eine Tautologie. (Frage: Muss ich hier außer der Wahrheitstafel noch irgendetwas begründen?) Aufgabe 2: Ich habe zunächst für alle Teilaufgaben eine Wahrheitstafel erstellt mit diesen Wahrheitswerden für die Aussagen A und B: A B F F F W W F w W und folgender: A B C W W W W W F W F W W F F F W W F F W F W F F F F a) Bei der Wahrheitstafel sind die Wahrheitswerde der beiden Spalten identisch (FFWF) b) auch identisch (WFFW) c) auch identisch (WWWFWWWF) d) auch identisch (WWWF) e) auch identisch (WFFF) f) auch identisch (WFWFWFFF) Ist diese Aufgabe so richtig? Und muss ich noch mehr hinschreiben als nur die Wahrheitstafel und den Hinweis, dass die Spalten identisch sind? Aufgabe 3: Da in der Mitte ein = (logische Äquivalenz) ist, bin ich so vorgegangen wie in Aufgabe zwei und habe eine Wahrheitstafel mit diesen Werten herausbekommen: $\begin{eqnarray} A\Rightarrow B \end{eqnarray}$ (WWFW) $\begin{eqnarray} \neg A\Rightarrow \neg B \end{eqnarray}$ (WFWW) Diese Spalten sind nicht identisch. Ist das richtig? Und wie kann ich das näher begründen? Meine Ansätze zu 4/5/6/7 und 8 werde ich später nachfügen, bin noch am hin und her probieren. Vielen Dank schonmal!!

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