Lebesgue Maß einer Hyperebene

10.11.2015, 14:47	DerDieDasEhochWas	Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesgue Maß einer Hyperebene Meine Frage: Okay Leute. Folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} \lambda_n \end{eqnarray}$ das Lebesgue Maß auf $\begin{eqnarray} (\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass jede Hyperebene $\begin{eqnarray} H\subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ Lebesgue-Maß null hat. Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass $\begin{eqnarray} \lambda_n(H_0) = 0 \end{eqnarray}$ fuer die Hyperebene $\begin{eqnarray} H_0 = \lbrace (x_1,...,x_n)\in \mathbb{R}^n:x_n=0\rbrace \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Auf meinem Zettel steht, dass die Aufgabe einfach sei. Sehr komisch. Ich verstehe schonmal die Verallgemeinerung von H_0 auf H nicht. Wenn es nun fuer H_0 gilt, dann muss es doch fuer alle Hyperebenen gelten. Es kommmt doch dann nicht darauf an ob man nun x_n (oder x_2, x_3) gleich null oder gleich sonst einer Konstante waehlt (wegen der Translationsinvarianz). Ich hab mal mir mal eine Zeichung von $\begin{eqnarray} H_0' = \lbrace (x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3:x_3=konst\rbrace \end{eqnarray}$ gemacht. Dh. ich habe eine Ebene in den Dreidimensionalen Raum gezeichnet. Wenn man eine offene Teilmenge A des R^n betrachtet, dann existiert eine Folge von disjunkten (halboffenen) Quadern $\begin{eqnarray} (Q_l)_{l\geq 1} \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} A \subset \bigcup_{n\geq 1}Q_n \end{eqnarray}$ . Adaptiert auf meine Aufgabe heisst das nun, dass ich eine Folge von Quadern finden kann, die meine menge H_0 bzw. H_0' ueberdeckt. Ich habe auch einige nette kleine Quader gezeichnet und mir ist anschaulich klar, dass das Lebesgue-Maß der Ebene null ist, weil entweder die Laenge, Breite oder die Hoehe beliebig klein sein muss. Wie aber muss ich nun konkret diese Hoehe bzw Breite/Laenge waehlen? Irgendwie muesste dann doch am Ende eine konvergente Reihe rauskommen. Bewege ich mich wenigstens in die richtige Richtung? Besten Dank fuer jegliche Hilfe DerDieDasEhochWas.

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