Gauss Algorithmus mit Parameter - Fallunterscheidung!

10.11.2015, 17:00

DerApfel

Gauss Algorithmus mit Parameter - Fallunterscheidung!

Bei:

(I): $\begin{eqnarray*} 2x+y+z=0 \end{eqnarray*}$
(II): $\begin{eqnarray*} -2ax+ay+9z=6 \end{eqnarray*}$
(III): $\begin{eqnarray*} 2x+2y+az=1 \end{eqnarray*}$

ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\ -2a & a & 9 & 6 \\ 2 & 2 & a & 1 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a-1 & 1 \\ 0 & 2a & a+9 & 6 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} 2 & 0 & -a+2 & -1 \\ 0 & 1 & a-1 & 1 \\ 0 & 0 & -2a^{2}+3a+9 & -2a+6 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} 2 & 0 & -a+2 & -1 \\ 0 & 1 & a-1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2(a-3)}{(a-3)(2a+3)} \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Fallunterscheidung:

a=3:

$\begin{eqnarray*} z=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y+2t=1 \to y=1-2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x-t=-1 \to x=-0,5 + 0,5t \end{eqnarray*}$

a=-1.5:

$\begin{eqnarray*} 0z=9 \to \end{eqnarray*}$ keine Lösung

a=0:

$\begin{eqnarray*} z=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y-\frac{2}{3} = 1 \to y=\frac{5}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x + \frac{4}{3} = -1 \to x=-\frac{7}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \backslash {-1.5|0|3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=\frac{2}{2a+3} \end{eqnarray*}$

Aber wie gehts dann weiter?

Matrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} 2 & 0 & -a+2 & -1 \\ 0 & 1 & a-1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{(2a+3)} \end{matrix} \end{eqnarray*}$

10.11.2015, 17:46

Mathema

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Hallo,

wieso betrachtest du den Fall a=0 gesondert? Es gibt nur die Möglichkeiten keine Lösung (a=-1,5), unendlich viele Lösungen (a=3) und eine Lösung (in allen anderen Fällen).

z hast du richtig berechnet.

Weiter geht es so:

$\begin{eqnarray*} y+(a-1)\frac{2}{2a+3}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=1-\frac{2a-2}{2a+3}=\frac{2a+3-2a+2}{2a+3}=\frac{5}{2a+3} \end{eqnarray*}$

Das kannst du nun ja auch hiermit vergleichen, wenn du mal a=0 einsetzt:

Zitat:

a=0:

$\begin{eqnarray*} z=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y-\frac{2}{3} = 1 \to y=\frac{5}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x + \frac{4}{3} = -1 \to x=-\frac{7}{6} \end{eqnarray*}$

x schaffst du sicherlich alleine nun.

Wink

10.11.2015, 18:22

DerApfel

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Danke für deine Antwort, ist das dann:

$\begin{eqnarray*} 2x+(-a+2)*\frac{2}{2a+3}=-1 2x=-1-\frac{-2a+4}{2a+3} x=-0,5+\frac{2a-4}{4a+6} \end{eqnarray*}$

10.11.2015, 18:45

Mathema

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Ich würde einen Bruch bevorzugen:

$\begin{eqnarray*} x=-0,5+\frac{2a-4}{4a+6}=\frac{-2a-3+2a-4}{4a+6}=\frac{-7}{4a+6} \end{eqnarray*}$

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