Welche der Relationen sind Äquivalenzrelationen?

10.11.2015, 17:40	U.P.	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche der Relationen sind Äquivalenzrelationen? Meine Frage: Hallo, ich stecke bei der folgenden Aufgabe fest und komme einfach nicht zu einem Lösungsansatz Ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen! Es geht um folgende Aufgabe: "Welche der folgenden Relationen sind Äquivalenzrelationen auf R^2? Im Fall einer Äquivalenzrelation berechne und skizziere man außerdem die Äquivalenzklassen von (0,1) $\begin{eqnarray} \in \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ und (1,1) $\begin{eqnarray} \in \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ ." (a) (x,y) ~ (x',y') :<=> es gibt ein a $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ \ {0} mit x = ax' und y= a^2y; (b) (x,y) ~ (x',y') :<=> es gibt ein a $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ \ {0} mit x = ay' und y= ax' Meine Ideen: Nun weiß ich, dass ich die obige Relation (x,y) ~ (x',y') auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität prüfen muss. Leider ist mir im einzelnen nicht genau bewusst, wie ich vorgehen muss. Beispielsweise bei der Reflexivität. Reflexiv heißt ja soviel, dass a ~ a. Im obigen Fall (a) wäre dies ja (x,y) ~ (x,y). Leider fehlt mir absolut der Ansatz dazu, wie ich das zeige Bringt es etwas, wenn ich aufschreibe, dass (x,y) äquivalent zu (x',y') ist, genau dann, wenn xx' = yy' für alle x,y in R? Da ich erst im ersten Semester bin und mir momentan mit solchen Aufgaben wirklich schwer tue, hoffe ich, dass mir jemand von euch beim Lösen helfen kann. Danke schonmal im Voraus! Ganz liebe Grüße!
10.11.2015, 18:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
(a) ist reflexiv, denn mit $\begin{eqnarray} a=1 \end{eqnarray}$ gilt für alle $\begin{eqnarray} (x,y)\in \mathbb R^2:x=ax=1\cdot x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=a^2y=1\cdot y \end{eqnarray}$ . Hast Du eventuell einen Strich vergessen ? Regel 1: Immer alles richtig schreiben. Regel 2: Definitionen lernen und benutzen.
10.11.2015, 18:40	U.P.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, ja da hast du Recht, ich habe den Strich über dem allerletzten y vergessen bei Aufgabenteil (a). Danke trotzdem für deinen Hinweise. Es reicht also zu zeigen, dass x = x' und y=y' sind? Als Definition habe ich: - reflexiv: a~a für alle a e M - symmetrisch: für alle a,b e M mit a~b gilt b~a - transitiv: für alle a,b,c mit a~b und b~c gilt a~c Falls ich nun einen richtigen Weg eingeschlagen habe, würde ich mir bei der Symmetrie nun ein a suchen, bei dem x ~ y und y ~ x ist. Also bei dem x = y und y = x ist. Kann ich das mit diesen Gleichheitszeichen schreiben? Oder ist das falsch? Leider bin ich mir nicht ganz im Klaren, wie das genau funktioniert. Andererseits könnte ich auch versuchen zu zeigen, dass (ax')~(a^2y') und (a^2y')~(ax') ist. Kannst du mir weiterhelfen?
10.11.2015, 18:58	U.P.	Auf diesen Beitrag antworten »
oder muss ich bei der Symmetrie zeigen, dass x~x' und x'~x sowie y~y' und y'~y ? Diese Tupel verwirren mich leider total
10.11.2015, 20:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
alles ganz einfach. Symmetrie: $\begin{eqnarray} (x,y)\sim (x',y')\Rightarrow x=ax',y=a^2y'\Rightarrow x'=\frac 1 a x,y'=\frac 1 {a^2}y\Rightarrow x'=(\frac 1 a)x,y'=(\frac 1 a)^2y\Rightarrow (x',y')\sim (x,y) \end{eqnarray}$ . Beachte: durch a darf man dividieren, weil $\begin{eqnarray} a\ne 0 \end{eqnarray}$ .

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