Konvergenz in Wahrscheinlichkeit und Konvergenz in L^{p}

11.11.2015, 09:57	Fakelove1	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz in Wahrscheinlichkeit und Konvergenz in L^{p} Hallo Matheboardmitglieder, ich habe folgendes gegeben: $\begin{eqnarray} \Omega=[0,1], \mathcal{A}=B([0,1]), \mathbb{P} \end{eqnarray}$ Lebesgue-Maß auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ . Setze $\begin{eqnarray} X_{n}=\Omega \rightarrow [0,\infty], \omega \rightarrow \begin{cases} e^{n} & \text{falls }0 \leq \omega \leq \frac{1}{n} \\ 0 & \text{falls } w> \frac{1}{n} \end{cases} \end{eqnarray}$ A) Ich möchte nun zeigen, dass $\begin{eqnarray} X_{n} \xrightarrow{P} 0 \end{eqnarray}$ gilt. Das habe ich folgendermaßen gemacht: $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(\| X_{n}-0\|> \epsilon)= \mathbb{P}(e^{n}> \epsilon)+ \mathbb{P}(0 > \epsilon)=(\frac{1}{n} -0)+0=\frac{1}{n} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0 \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \mathbb{P} \end{eqnarray}$ Lebesgue-Maß ist . Ist das richtig? B) Nun möchte ich zeigen, dass nicht $\begin{eqnarray} X_{n} \xrightarrow{L^{p}} 0 \end{eqnarray}$ gilt. Das habe ich so gemacht: $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(\| X_{n}-0\|^{p})=\mathbb{E}(e^{np})+\mathbb{E}(0)=\frac{1}{n}e^{np}+0=\frac{e^{np}}{n}\xrightarrow{n \rightarrow \infty} \infty \end{eqnarray}$ , da das Lebesgue-Maß gleichverteilt ist. Ist das richtig? Danke im voraus
11.11.2015, 11:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du rechnest zwar letzten Endes richtig, aber deine Bezeichnungen der Zwischenwerte wie $\begin{align} \mathbb{P}(e^n>\epsilon) \end{align}$ oder $\begin{align} \mathbb{E}(e^{np}) \end{align}$ ist echt fahrlässig, oder um es direkt zu sagen: falsch. Korrekt könnte es etwa so lauten: $\begin{align} \mathbb{P}\left( \left\|X_{n}-0\right\|> \epsilon\right) = \mathbb{P}\left( \left[0,\frac{1}{n}\right]\right) = \frac{1}{n} \end{align}$ bzw. $\begin{align} \mathbb{E}\left( \left\| X_{n}-0\right\|^{p}\right) = \mathbb{E}\left( e^{np}\cdot 1_{\left[0,\frac{1}{n}\right]} \right) = e^{np}\cdot \mathbb{E}\left( 1_{\left[0,\frac{1}{n}\right]} \right) = e^{np}\cdot \mathbb{P}\left( \left[0,\frac{1}{n}\right] \right) = \frac{1}{n}e^{np} \end{align}$

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