Orthonormalbasen, Isometrien, Spiegelung an orthogonalem Komplement

11.11.2015, 14:17	mathebanause	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasen, Isometrien, Spiegelung an orthogonalem Komplement Hallo ihr lieben! Ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem: Sei $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ mit dem Euklidischen Skalarprodukt versehen und sei $\begin{eqnarray} w = (\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}) \end{eqnarray}$ . Bezeichne mit $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^3 \mapsto \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ die Spiegelung an der Ebene $\begin{eqnarray} V = w^{\perp} \end{eqnarray}$ . i) Bestimme eine o.n. Basis $\begin{eqnarray} v_1, v_2 \end{eqnarray}$ von V so, dass mit $\begin{eqnarray} v_3 = w \end{eqnarray}$ , durch $\begin{eqnarray} [v] = [v_1, v_2, v_3] \end{eqnarray}$ eine o.n. Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ gegeben ist. ii) Bestimme $\begin{eqnarray} f_{[v]\mapsto[v]} \end{eqnarray}$ und verifiziere, dass f eine Isometrie ist. iii) Bestimme $\begin{eqnarray} f_{[e]\mapsto[e]} \end{eqnarray}$ wobei e die Standardbasis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ist. ich stecke hier total fest. Was ich bisher gemacht habe: $\begin{eqnarray} w^\perp = \Bigg\{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 : 0 = < \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}>\Bigg\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \Big\{x + y + z = 0, \forall x, y, z \in \mathbb R\Big\} \end{eqnarray}$ Kann mir jemand ein paar Tipps geben wie ich weiterkomme? Das wäre sehr hilfreich und nett vielen dank schon mal Liebe grüsse mathebanause

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