Ist eine Potenzreihe direkt auf ihrem Konvergenzradius stetig?

11.11.2015, 17:42	Troy78	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist eine Potenzreihe direkt auf ihrem Konvergenzradius stetig? r:= Konvergenzradius Die Potenzreihe ist natürlich auf $\begin{eqnarray} U_r (0) \end{eqnarray}$ stetig. Angenommen, die Potenzreihe wäre für alle $\begin{eqnarray} z \in \mathbb{C}: \|z\|=r \end{eqnarray}$ konvergent. Wäre die Potenzreihe auch auf $\begin{eqnarray} K_r(0) = \{z \in \mathbb{C}: \|z\| \leq r \} \end{eqnarray}$ stetig?
12.11.2015, 17:50	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieh dir mal den abelschen Grenzwertsatz an.
13.11.2015, 18:22	Troy78	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ja...danke!
13.11.2015, 20:07	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, man muss da ein wenig aufpassen. Die Version des abelschen Grenzwertsatzes im reellen, die ich kenne, besagt, dass, wenn eine Potenzreihe in einem Randpunkt ihres Konvergenzintervalls noch konvergiert, dass dann die durch sie definierte Funktion dort stetig ist. Das gilt so analog im Komplexen nicht. Es könnte aber sein, dass es trotzdem so ist, wenn die Funktion auf dem gesamten Rand konvergiert, wie hier gefordert, das weiß ich nicht.
13.11.2015, 20:27	001	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hab ich mir gemerkt, weil im Buch stand, diese Verallgemeinerung sei zu nichts nuetze. Die Potenzreihe konvergiere auch in einem Randpunkt $\begin{align} \overline{z} \end{align}$ . Dann kann man ein Dreieck $\begin{align} \Delta \end{align}$ betrachten, das $\begin{align} \overline{z} \end{align}$ als Randpunkt hat, und ansonsten ganz im Inneren der Konvergenzkreisscheibe liegt. Es gilt dann: $\begin{eqnarray} \lim_{z\to\overline{z},z\in\Delta}\sum a_n z^n=\sum a_n\overline{z}^n. \end{eqnarray}$
13.11.2015, 21:18	Troy78	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Also, falls ich das jetzt richtig verstanden habe: -wäre die Potenzreihe in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und für z=r konvergent, so wäre sie auch auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ stetig -falls eine komplexe Potenzreihe für alle $\begin{eqnarray} z: \|z\|=r \end{eqnarray}$ konvergent ist, so ist sie auch dort stetig, da $\begin{eqnarray} \lim_{z\to\overline{z},z\in\Delta}\sum a_n z^n=\sum a_n\overline{z}^n. \end{eqnarray}$ gilt?
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13.11.2015, 22:32	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, denn $\begin{eqnarray} \lim_{z\to\overline{z},z\in\Delta}\sum a_n z^n=\sum a_n\overline{z}^n. \end{eqnarray}$ ist schwächer als Stetigkeit. Allerdings bekommt man dies bereits, wenn die Reihe nur in $\begin{eqnarray} \bar z \end{eqnarray}$ konvergiert. Wenn sie auf dem gesamten Rand konvergiert, könnte es sein, dass man dann dennoch wirklich Stetigkeit hat, das weiß ich wie gesagt nicht.
13.11.2015, 22:55	Troy78	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke!

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