Potenzreihe

11.11.2015, 17:50	Troy78	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe P(z) = $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}z^n \end{eqnarray}$ . Der Konvergenzradius r ist 1 und nun lautet die Frage, für welche $\begin{eqnarray} z \in \mathbb{C}: \|z\|<r \end{eqnarray}$ P(z) konvergent ist. Kann mir da jemand einen Tipp geben?
12.11.2015, 10:02	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihe Die Reihe ist natürlich für alle $\begin{eqnarray} \|z\|<r \end{eqnarray}$ konvergent. So ist der Konvergenzradius ja definiert. Fraglich ist allein, für welche $\begin{eqnarray} \|z\|=r \end{eqnarray}$ sie konvergent ist. Vermutlich meinst du das auch. Für $\begin{eqnarray} z=1 \end{eqnarray}$ ist sie bekanntlich divergent (harmonische Reihe). Für $\begin{eqnarray} z = -1 \end{eqnarray}$ ist sie konvergent (Leibnizkriterium). Mit dem Dirichletkriterium kann man zeigen, dass sie für alle $\begin{eqnarray} \|z\| = 1 \end{eqnarray}$ mit Ausnahme von $\begin{eqnarray} z = 1 \end{eqnarray}$ konvergent ist.
13.11.2015, 18:24	Troy78	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sorry, das habe ich gemeint. Dann versuche ich es mit dem Dirichletkriterium, danke!
19.11.2015, 18:30	Troy78	Auf diesen Beitrag antworten »
Warte. $\begin{eqnarray} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ ist eine monotone Nullfolge, und reicht es, wenn ich sage, dass $\begin{eqnarray} \| \sum_{n=1}^{N} \|z\|^n\| \leq N \forall N \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ ist ?
20.11.2015, 08:32	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das reicht natürlich nicht. Du musst für den Betrag der Partialsummen eine von N unabhängige feste obere Schranke nachweisen. Benutze dazu die Formel für die endliche geometrische Reihe.
20.11.2015, 11:33	Troy78	Auf diesen Beitrag antworten »
Also 1/1-z ? Eine andere Formel für geometrische Reihen hatten wir nämlich nicht...
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20.11.2015, 12:01	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein! Das wäre die Formel für die unendliche geometrische Reihe und die gilt nur für $\begin{eqnarray} \|z\|<1 \end{eqnarray}$ . Die Formel für die endliche geometrische Reihe lernt man schon in der Schule bei der Zinseszinsrechnung kennen. Such mal im Internet oder einer Formelsammlung.

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