Verschiedene Formen von Geradengleichungen

11.11.2015, 21:20

s_punkt

Verschiedene Formen von Geradengleichungen

Hallo, ich hab folgende Aufgabe: Geben Sie für die Gerade durch die Punkte P1(-1,2,-1) und P2(-1,3,-2) eine Parameterdarstelung, eine parameterfreie Darstellung, die Plückersche Normalform sowie eine Darstellung als Durchschnitt zweier Ebenen an.

Meine Ideen wären:
Parameterdarstellung:
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}:g= \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Parameterfreie Form:
$\begin{eqnarray*} <br /> x&=-1\\<br /> y&=2+\lambda\\<br /> z&=-1-\lambda <br /> \Rightarrow x+y+z=0 \end{eqnarray*}$
Aasaber nun kommt der Punkt, ich weiß nicht wie ich die plückersche Form und den Ebenenschnitt ohne Ebene darstelle. Hammer

12.11.2015, 01:02

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine parameterfreie Form der Geradengleichung in $\begin{eqnarray*} \mathbb R_3 \end{eqnarray*}$ ist nur durch zwei Gleichungen realisierbar.
Diese zwei Gleichungen entstehen durch zweimalige Elimination des Parameters und sie sind gleichzeitig die Gleichungen von 2 Ebenen, die einander in der Geraden schneiden.

Deine parameterfreie Gleichung ganz am Ende* ist die Gleichung einer weiteren Ebene, welche ebenfalls die Gerade enthält.

EDIT:
Zur Plücker'schen Form werde ich dir später antworten, dann, wenn du dies hier mal kommentiert hast.
Näheres dazu hier: Plückersche Form oder Suche nach "Plücker"

-------

(*) Alle Gleichungen der Form ax + bx + cz = d stellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R_3 \end{eqnarray*}$ Ebenen dar.

mY+

12.11.2015, 12:42

s_punkt

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallöchen, vielen Danke für deine Antwort! smile

Hab ich das richtig verstanden, dass die parameterfreie Form gleichzeitig auch die Form als Durchschnitt zweier Ebenen ist?
Zumindest hab ich für die Parameterfreie Form folgendes erhalten nach dem ich Lambda aus I und II sowie II und III eliminiert habe.
$\begin{eqnarray*} x+1=0 \wedge -y-z-1=0 \end{eqnarray*}$

Nun hab ich aber wieder ein Problem, nämlich weiß ich nicht, wie ich den Normalenvektor einer Gerade im $\begin{eqnarray*} \mathrm{R}^{3} \end{eqnarray*}$ erstelle.
Hab aber sowas gefunden für die Plückersche Normalform:
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{0}=[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} ] \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann das stimmen oder ist das falsch?

12.11.2015, 13:39

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Sache mit den Ebenen hast du richtig verstanden!

Zitat:

Original von s_punkt
...
$\begin{eqnarray*} x+1=0 \wedge -y-z-1=0 \end{eqnarray*}$
...

Die zweite Gleichung muss -y-z+1=0 oder y+z-1=0 lauten (Vorzeichenfehler bei 1)
-------------

Hinsichtlich Plücker habe ich meine erste Antwort editiert, diese war nur für $\begin{eqnarray*} \mathbb R_2 \end{eqnarray*}$ richtig, dort heisst es dann einfach Normalvektorform.

Eine Gerade in $\begin{eqnarray*} \mathbb R_3 \end{eqnarray*}$ hat keinen eindeutigen Normalvektor, davon gibt es unendlich viele (die eine Normalebene zur Geraden bilden).
Daher wird in diesem Falle die lineare Abhängigkeit zweier Vektoren, die auf der Geraden liegen, beschrieben:

$\begin{eqnarray*} \vec u \times (\vec x - \vec a) = \vec 0 \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \vec u \end{eqnarray*}$ der Richtungsvektor der Geraden ist, $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ zu einem Stützpunkt und $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ zu einem allgemeinen Geradenpunkt geht.
Dieses vektorielle Produkt ist deswegen Null, weil die beiden Vektoren linear abhängig (parallel) sind.

Deine Normalform nach Plücker ist somit vollkommen richtig! smile

Wenn du dies noch vervollständigst (das Vektorprodukt ist distributiv!), ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{bzw.} \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \times \vec X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mY+

12.11.2015, 16:55

s_punkt

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hilfe zum Verständnis smile

Ist ein bisschen blöd wenn Wiederholungsaufgaben dran kommen und das Abi schon ein wenig zurückliegt Big Laugh

Neue Frage »

Antworten »

Verschiedene Formen von Geradengleichungen

Verwandte Themen