Quadratische Betragsungleichung

12.11.2015, 08:11

Opemt

Quadratische Betragsungleichung

Meine Frage:
Hallo Leute,
ich habe folgende Aufgabe bei der ich jetzt irgendwie nicht weiter komme
$\begin{eqnarray*} |5x - |x - 2|| \geq x^{2} -9 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
So, ich habe jetzt zunächst ausgerechnet, welche Fälle unterschieden werden müssen, indem ich die Beträge Null gesetzt habe, daraus ergeben sich dann bei mir 4 Fälle, die zu unterscheiden sind.
$\begin{eqnarray*} 1. Fall: x < -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2. Fall: -\frac{1}{2} \leq x < \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3. Fall: \frac{1}{3} \leq x < 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4. Fall: x \geq 2 \end{eqnarray*}$

Das müsste doch soweit stimmen, oder?

$\begin{eqnarray*} 1. Fall: x < -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
nach Umformungen habe ich jetzt folgendes raus
$\begin{eqnarray*} |x+3| \leq \sqrt{20} \end{eqnarray*}$
dann hätte ich ja für x = $\begin{eqnarray*} \sqrt{20} \end{eqnarray*}$ - 3 oder x = - $\begin{eqnarray*} \sqrt{20} \end{eqnarray*}$ - 3 raus
..ABER hier habe ich jetzt schon ein Problem. Das Gleichheitszeichen stimmt ja wahrscheinlich eher nicht.
Wie sehen jetzt meine Ungleichheitszeichen aus?
Ist das hier richtig? $\begin{eqnarray*} x \leq \sqrt{20} - 3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \geq -\sqrt{20} - 3 \end{eqnarray*}$
Ich weiß irgendwie nicht, wie ich hier die Lösung angeben muss unglücklich

Danke für eure Hilfe smile

12.11.2015, 13:12

HAL 9000

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Ich würde ganz anders rangehen:

Es ist $\begin{align*} x^2-9\leq 0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} |x|\leq 3 \end{align*}$ , und da links mit dem Betrag garantiert was $\begin{align*} \geq 0 \end{align*}$ steht, ist die zu lösende Ungleichung demnach für alle $\begin{align*} -3\leq x\leq 3 \end{align*}$ schon mal sicher erfüllt.

Es bleiben nun lediglich noch die beiden Fälle $\begin{align*} x>3 \end{align*}$ und $\begin{align*} x<-3 \end{align*}$ zu untersuchen.

12.11.2015, 20:20

Opemt

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Vielen Dank für deine schnelle Antwort.

Also ist meine Herangehensweise bei dieser Aufgabe auch falsch oder ist sie nur in diesem Fall umständlicher? In einer Übungsaufgabe sind wir nämlich nach diesem Prinzip vorgegangen, allerdings war da die Aufgabe nicht mit $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ .

Würde ich dann mit meinem Lösungsansatz auch gar nicht auf die richtige Lösung kommen?
Ich werde die Aufgabe mal nach deinem Vorschlag durchrechnen und melde mich dann nochmal.

12.11.2015, 20:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Opemt
Also ist meine Herangehensweise bei dieser Aufgabe auch falsch oder ist sie nur in diesem Fall umständlicher?

Letzteres. Falsch ist sie nicht.

EDIT: Obwohl... auf welcher Grundlage hast du deine Fallunterscheidung gewählt? Ich verstehe z.B. nicht, was $\begin{align*} -\frac{1}{2} \end{align*}$ hier für eine besondere Bedeutung haben soll. unglücklich

12.11.2015, 21:39

Opemt

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Also uns würde gesagt, dass jeweils ein neuer Fall eintritt, wenn einer der Beträge = 0 wird..
Also habe ich zuerst |x-2| = 0 gesetzt und dann x =2 rausbekommen,
dann habe ich |5x-|x-2| = 0 gesetzt und dann x = -1/2 oder x = 1/3 rausbekommen...und danach habe ich dann auch meine Fälle gewählt..
Es wurde gesagt, dass wir dann bei Ungleichungen mit Betrag immer so nach diesem Prinzip vorgehen können..

12.11.2015, 21:50

HAL 9000

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Für $\begin{align*} x=-\frac{1}{2} \end{align*}$ ist aber doch $\begin{align*} 5x-|x-2| = -5 \neq 0 \end{align*}$ ... na egal, eine überflüssig zusätzliche Fallunterscheidung ist ja per se nicht verkehrt, also mach erstmal weiter.

Vielleicht noch auf deinen ersten Fall zurückkommend: Dein erzieltes Ergebnis ist

$\begin{align*} |x+3| \leq \sqrt{20} \end{align*}$ , umgeschrieben $\begin{align*} -3-\sqrt{20} \leq x \leq -3+\sqrt{20} \end{align*}$ .

Dieses Ergebnis muss natürlich noch gemäß Fallbedingung $\begin{align*} x\leq -\frac{1}{2} \end{align*}$ zurückgestutzt werden.

14.11.2015, 15:17

Opemt

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So, ich habe jetzt raus, dass mein x so aussehen müsste:
$\begin{eqnarray*} - 1 \leq x \leq -3 + \sqrt{20} \end{eqnarray*}$

Da meine Fallunterscheidung bei diesen beiden wahr ist.
Allerdings hast du ja ganz am Anfang geschrieben, dass die Gleichung auf jeden Fall für $\begin{eqnarray*} -3 \leq x \leq 3 \end{eqnarray*}$ wahr sein muss...

Irgendwas stimmt da wohl bei mir nicht :/

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