Ableitung von Integral mit Verteilungsdichtefunktion

12.11.2015, 12:28

Marximilian

Ableitung von Integral mit Verteilungsdichtefunktion

Meine Frage:
Hallo, habe folgendes Problem.
Gegeben ist folgende Gleichung
$\begin{eqnarray*} \gamma(\overline\omega)=\int_{0}^{\overline\omega}\omega f(\omega)d\omega + \overline\omega\int_{\overline\omega}^{\infty}f(\omega)d\omega \end{eqnarray*}$
Die Ableitung ist:
$\begin{eqnarray*} \gamma'(\overline\omega)=1-F(\overline\omega) \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand erklären, wie man zu dieser Ableitung gelangt?

Wichtig ist, dass $\begin{eqnarray*} f(\omega) \end{eqnarray*}$ eine Verteilungsdichtefunktion ist; $\begin{eqnarray*} F(\omega) \end{eqnarray*}$ ist die dazugehöhrige kumulative Verteilungsfunktion und $\begin{eqnarray*} (\overline\omega) \end{eqnarray*}$ ist die Ausprägung von $\begin{eqnarray*} (\omega) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \gamma(\overline\omega) \end{eqnarray*}$ der Erwartungs

Meine Ideen:
Wenn ich das richtig verstehe ist $\begin{eqnarray*} \gamma(\overline\omega) \end{eqnarray*}$ der Erwartungswerrt des Anteils (vom Gesamterlös) welcher unterhalb von $\begin{eqnarray*} (\overline\omega) \end{eqnarray*}$ liegt (und somit einer anderen Gruppe zugesprochen wird, wie der übrige Teil).

Betrachte ich nur den 2. Term, würde ich durch einsetzen zu

$\begin{eqnarray*} (\overline\omega)[F(\infty)-F(\overline\omega) \end{eqnarray*}$ gelangen.
Da $\begin{eqnarray*} F(\infty) \end{eqnarray*}$ definitionsgemäß 1 ist, würde ich aus diesem Ausdruch zu der Ableitung gelangen zu der ich auch gelangen möchte.
Ich meine das der erste Term definitionsgemäß dem Erwartungswert entspricht, daher macht es eigentlich auch Sinn das die Ableitung dieses gleich null ist, denn eine marginale Ausweitung des Intervalls, dürfte keine Auswirkung haben, da ja die Eintrittswahrscheinlichkeit eines jedern einzelnen Wertes null ist. Leider kann ich dies aber formal nicht zeigen.

Kann mir jemand helfen???

Mit Dank und Grüßen
Marximilian

LaTeX-End-Tag korrigiert (/latex statt \latex). Steffen

12.11.2015, 12:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Marximilian
Ich meine das der erste Term definitionsgemäß dem Erwartungswert entspricht, daher macht es eigentlich auch Sinn das die Ableitung dieses gleich null ist,

Da die obere Grenze dieses Intervalls gleich $\begin{align*} \overline\omega \end{align*}$ statt $\begin{align*} \infty \end{align*}$ ist, ist das NICHT der Erwartungswert. Die Ableitung dieses ersten Formelterms ist demzufolge auch nicht Null, sondern $\begin{align*} \overline\omega f(\overline\omega) \end{align*}$ . unglücklich

Was auch nicht im geringsten stört, wenn man dann die Ableitung $\begin{align*} \left[ \overline\omega\cdot \left(1-F(\overline\omega)\right) \right]' \end{align*}$ des zweiten Formelterms unter die Lupe nimmt.

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