Wegintegral auf Kreisbogenabschnitt

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babelon Auf diesen Beitrag antworten »
Wegintegral auf Kreisbogenabschnitt
Hallo liebe Mathegemeinde :-)

ich habe ein Problem, bei welchem ich schon seit einigen Stunden feststecke. Das finde ich sehr ineffizient. Daher dachte ich mir, ich schreibe Euch einmal die Aufgabe auf ... und ... zeige Euch meinen gesamten Lösungsweg ... und ... dann werde ich Euch auf eine Stelle hinweisen, die mir missfällt, da ich den Übergang mithilfe von wolframalpha.com gemacht habe --- aber nicht weiß, wie ich selber diese Umformung Schritt-für-Schritt machen kann.

Da ich gerne dazu lerne, und desweiteren auch ästhetisch-bessere Lösungswege mag, bin ich natürlich auch für andere Vorschläge offen, wenn sie mich zum Ziel führen.

Und wenn ich einen Fehler eingebaut habe --- entweder beim Abtippen oder von vorneherein, dann bin ich auch ganz Ohr ... und hoffe, dass ich dazu lerne.

Hier nun die Aufgabe: (ich nummeriere die Zeilen mit durch, wobei Big Laugh )

Sei ein Weg mit und

und gegeben mit der Vorschrift

Das Ziel ist es, einen Weg zu finden, dieses Integral zu bestimmen: , wobei ein 3/4-Kreisbogen von A nach B im Gegenuhrzeigersinn auf dem Einheitskreis durchlaufen werden soll.


Und jetzt komme ich: ..mit meinem Lösungsvorschlag ;-)

Als erstes mache ich eine Parametrisierung:


und damit kann gefolgert werden




Wegen des Weges auf dem Einheitskreis wähle ich

Damit kann das Integral umgeformt werden zu





Ich ersetze x und y so, wie in der Parametrisierung (004) angegeben


Dann ersetze ich noch mit (005) und (006)
















FERTIG!


Das ist mein Rechenweg. Mich stört an diesem Rechenweg, dass ich keine schöne algebraische Umformung von (013) nach (014) finde. Alle Umformungen, die ich ausprobiert habe, haben irgendwo einen Punkt den ich mir und anderen gegenüber nicht plausibel finde, weil darin dann Additionstheoreme vorkommen, die nicht jeder drauf hat. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand für diese Stelle einen eleganten Weg zeigt .. oder mir insgesamt einen anderen Weg zeigt, der eleganter ist.

Ich habe zwei Fotos angehängt, in denen die letzten beiden Umformungen sind, über welche ich mir Gedanken gemacht habe. Allerdings gefallen mir bei beiden jeweils das erste Gleichheitszeichen nicht! Den Übergang finde ich zu schwer. Natürlich kann man immer sagen, dass ist ein bekanntes Additionstheorem --- aber ich hätte diese Umformung lieber innerhalb der Gleichungskette tatsächlich "gesehen".

Viele Grüße an Euch alle! Ich hoffe, dass jemand Lust, Zeit und Spass daran hat, mir hierbei weiter zu helfen.

Liebe Grüße
Dangalf Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wegintegral auf Kreisbogenabschnitt
Beim Einsetzen für dx in (011) ist Dir ein Minus abhanden gekommen, das in (012) im ersten Summanden, aber nicht im zweiten und dritten, wieder auftaucht, (013) ist dann wieder korrekt -- sofern ich mich nicht vertan habe.

Das Integral ohne Summensätze berechnen kann man, wenn man in den Faktor abspaltet, durch ersetzt und die Klammer auflöst; analog für , und dann zusammenfasst.
Es bleiben wieder vier Summanden, davon sind zwei einfach zu integrieren, die anderen beiden Summanden sind proportional zur Ableitung von bzw. .
babelon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wegintegral auf Kreisbogenabschnitt
Zuallererst vielen Dank, für Deine Antwort :-)

Und dann noch mal Danke, dass ich auf meine Fehler hingewiesen werde :-) Die Korrektur war nötig, dort fehlt in der Tat das Minuszeichen beim Ersetzen von dx.
Richtig müsste (011) dann so aussehen:







jetzt kommt der von dir vorgeschlagene Weg, bei welchem wir den trigonometrischen Pythagoras

anwenden. Daraus können wir ja folgern, dass

und ebenso

gelten. Wir erhalten..



An dieser Stelle werden (013, a2) und (013,a3) benutzt





Ich muss gestehen, dass bis (013,a6) der Weg auch für mich bekannt war, allerdings habe ich mich mit den beiden unschönen Termen -die gleich folgen- gestern Abend nicht weiter auseinander setzen wollen:



An dieser Stelle, war ich mir nicht sicher, ob wir beide die gleiche Umformung meinen. Ich schreibe mal, was ich in den Additionstheoremen gefunden habe.
(http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/trigsimpl.htm)



War diese Umformung gemeint, Dangalf?
Das neue Integral ist natürlich sehr schön!
Aber unabhängig davon stehe ich wieder am gleichen Punkt, wie vorher: Ich habe eine Umformung benutzt, die ich selbst nicht herleiten kann. Das gefällt mir nicht. Wenn mir jemand schreibt, wie ich die Richtigkeit der benutzten Formeln für den Übergang von (013,a7) nach (013,a8) zeige, DANN bin ich zufrieden :-)

Liebe Grüße
Dangalf Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aus Zeitgründen bin ich nur sehr sporadisch hier, und nochmal sorry für die folgende verkürzte Schreibweise:

Von 13,a7 aud 13,a8 kommt man wieder mit dem trig. Pythagoras, und auch wenn's vielleicht schöner ausschaut führt der trotzdem in eine Sackgasse, da man sin^3 nicht so einfach integrieren kann.

In 13,a7 kannst Du jeden Summanden einzeln integrieren, der zweite ist bis auf einen Faktor die Ableitung von cos^3, sein Integral also proportional zu cos^3 (wie ich bereits schrieb). Der dritte geht analog mit sin^3, der erste und vierte sind Grundintegrale.

PS: Dir ist schon bewusst, dass die Ableitung von cos^3 die Kettenregel verlangt? Schreib Dir die Ableitung mal hin und vergleiche mit dem zweiten Summanden, falls Dir bis hierher noch kein Licht aufgegangen ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Am einfachsten ist es natürlich, wenn man ausnutzt, daß



eine Stammfunktion von ist:



Dann gilt:

babelon Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,

ich bin mir nicht sicher, wie Du das meinst.

1.) Zum Einen finde ich deinen Ansatz interessant, weil ich es so-herum noch nie gesehen habe. Allerdings komme ich hierdurch wieder zu meinem Anfang aus Zeile (009) zurück. Die ursprüngliche Aufgabe aus der Vorlesung lautete aber nun mal, dass wir das Integral mithilfe einer Parametrisierung ausrechnen sollten.

2.) Desweiteren habe ich auch nicht die Übung, um zu wissen, wie Du Deine letzte Zeile so schnell berechnest :-)
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar sagt dir der Begriff der Exaktheit einer Differentialform oder, wie es die Physiker, glaube ich, sagen: der Konservativität eines Vektorfeldes nichts.

Wenn du gleich mit der klassischen Parametrisierung da heranwillst, könntest du den Integranden folgendermaßen umformen:







Es sind halt wieder die Additionstheoreme.
babelon Auf diesen Beitrag antworten »

Leopold, das ist richtig: Die Begriffe sagen mir nichts. Das bedeutet, dass ich sie jetzt lernen werde! Vielen Dank :-)

Deine Umformung gefällt mir! Ich werde die Additionstheoreme auswendig lernen, da sie mir gefallen ;-)
Ich werde mich weiterhin damit beschäftigen, wie ich Additionstheoreme beweisen kann.

Damit schliesse ich diesen Thread/Post..

..und bedanke mich für Eure Zeit :-)
Liebe Grüße
babelon
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