Nichtlineare DGL

12.11.2015, 21:41

Mathemus

Nichtlineare DGL

Meine Frage:
Hallo Leute. Ich habe ein Problem bei der Lösungssuche folgender DGL:

$\begin{eqnarray*} y''(x)-e^{2y}=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe zunächst substituiert
$\begin{eqnarray*} v=y' \Rightarrow \frac{ddy}{dxdx} = \frac{dv}{dx} = \frac{dvdy}{dydx} =v* \frac{dv}{dy}\Rightarrow v*\frac{dv}{dy} =e^{2y}<br /> \Rightarrow v'=2e^{2y}*v^{-1} \end{eqnarray*}$
Lösung dieser Bernoulligleichung ist $\begin{eqnarray*} v= \sqrt{e^{2y}+c} \end{eqnarray*}$
Dementsprechend ist $\begin{eqnarray*} y'=\sqrt{e^{2y}+c} \end{eqnarray*}$ und nach umstellen und Hinzufügen der Integrale hab ich nun folgende Gleichung $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \sqrt{\frac{1}{e^{2y} +c}} \, dy=x+c \end{eqnarray*}$
Das Integral scheint mir aber mit meinen Mitteln überhaupt nicht lösbar. Ich bin schon am verzweifeln. Wäre toll wenn jemand helfen könnte smile

12.11.2015, 22:29

grosserloewe

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RE: nichtlineare DGL
Wink

doch es ist lösbar.

Führe 2. Substitutionen durch:

1. $\begin{eqnarray*} z=e^{x} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} z= \sqrt{c } *tan(v) \end{eqnarray*}$

dann bekommst Du:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{\sqrt{c } } *\int \! \frac{1}{\sin(v) } \, dv \end{eqnarray*}$

Das kannst Du mit der Weierstraß - Substitition lösen.

Viel Spaß

smile

13.11.2015, 16:18

Mathemus

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Da blick ich noch nicht ganz hinter. Warum $\begin{eqnarray*} z=e^{x} \end{eqnarray*}$ ? Müsste es nicht $\begin{eqnarray*} z=e^{2y} \end{eqnarray*}$ sein?
Danke auf jeden schonmal für die Antwort smile

13.11.2015, 16:27

grosserloewe

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Ja das war ein Abschreibfehler,

es muß natürlich

$\begin{eqnarray*} z= e^{y} \end{eqnarray*}$ sein.

Ich hab das damit zu Ende gerechnet, mag sein das auch

$\begin{eqnarray*} z= e^{2y} \end{eqnarray*}$ geht.

smile

13.11.2015, 18:03

Mathemus

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Super. Habs dann auch geschafft smile

Dankeschön.
Gibt es da irgendwie ein Rezept wie man speziell auf solche Substitutionen kommt? Ich wäre da beim besten Willen niemals drauf gekommen!

13.11.2015, 18:12

grosserloewe

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Man muß vielleicht 200-300 Integrale lösen , so ging es mir ., also Erfahrung

smile

13.11.2015, 20:15

Mathemus

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Na das klingt ja vielversprechend. Big Laugh

Eine Frage hätte ich allerdings noch.
Ich habe nun die Weierstrauss-Substitution angewendet und habe folgendes Ergebnis raus:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{1}{\frac{2z}{1+z^{2}} }*\frac{2}{1+z^{2}} \, dz = \int_{}^{} \! \frac{1}{z} \, dx = ln(z)+C=ln(tan(\frac{x}{2} )+C \end{eqnarray*}$
Nach Überprüfung von Internetquellen ist das aber nicht das richtige Ergebnis, und ich komme nicht drauf was ich falsch gemacht habe.

14.11.2015, 11:38

Mathema

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An deiner Rechnung gibt es wenig auszusetzen. Nur deine Variablen verstehe ich nicht. Bist du nicht dem Weg von grosserloewe gefolgt?

Zitat:

1. $\begin{eqnarray*} z=e^{y} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} z= \sqrt{c } *tan(v) \end{eqnarray*}$

dann bekommst Du:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{\sqrt{c } } *\int \! \frac{1}{\sin(v) } \, dv \end{eqnarray*}$

Wenn ich das richtig verstehe soll das nun die Fortsetzung sein:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{1}{\frac{2z}{1+z^{2}} }*\frac{2}{1+z^{2}} \, dz = \int_{}^{} \! \frac{1}{z} \, d\textcolor{red}{z} = ln(z)+C=ln(tan(\frac{x}{2})\textcolor{red}{)}+C \end{eqnarray*}$

Die rot markierten Stellen nehme ich mal als Tippfehler. Die Variable z wurde jedoch schon definiert, es sollte also eine andere benutzt werden. Zudem frage ich mich, wo das x im Argument das Tangens herkommt.

Geht es lediglich um das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sin(x)} dx = \ln(\tan(\frac{x}{2}))+c \end{eqnarray*}$ welches du als falsch erachtest, so solltest du deine dubiosen Internetquellen noch einmal prüfen, die Probe (Ableitung) bestätigt nämlich das Ergebnis.

18.11.2015, 21:42

Mathemus

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Alles klar smile

Vielen Dank für die Antworten smile

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