Identität beweisen diskrete Zufallsvariablen

12.11.2015, 22:05

Tremonia

Identität beweisen diskrete Zufallsvariablen

Es sei: $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} bionmial(n,p) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} bionmial(n,1-p) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} p\in \left(0, 1\right) \end{eqnarray*}$
zu seigen ist dass:
$\begin{eqnarray*} P(X\leq i) = P(Y\geq n-i) \end{eqnarray*}$
gilt

Ich kann das zwar ausschreiben, aber sehe dann nicht die Gleichheit :/

Kann einer durch schafes Hinsehen oder so schon erkennen warum die beiden Seiten gleich sind?

VG
Tremonia

12.11.2015, 22:38

HAL 9000

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RE: Identität beweisen diskrete Zufallsvariablen

Zitat:

Original von Tremonia
Ich kann das zwar ausschreiben, aber sehe dann nicht die Gleichheit

Dann schreib es mal hin, statt nur drüber zu reden! Die Gleichheit basiert auf folgendem:

Für $\begin{align*} j=n-i \end{align*}$ sowie $\begin{align*} q=1-p \end{align*}$ gilt $\begin{align*} \binom{n}{i}=\binom{n}{j} \end{align*}$ , $\begin{align*} p^i=(1-q)^{n-j} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} (1-p)^{n-i} = q^j \end{align*}$ , und damit im Produkt

$\begin{align*} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} = \binom{n}{j} (1-q)^{n-j} q^j \end{align*}$

-------------

Oder schlicht aus inhaltlichen Gründen: Wenn $\begin{align*} X \end{align*}$ die Anzahl der Erfolge im Bernoulli-Experiment $\begin{align*} (n,p) \end{align*}$ zählt, so ist $\begin{align*} Y:=n-X \end{align*}$ die Anzahl der Misserfolge im selben Experiment, wobei die Misserfolgswahrscheinlichkeit ja $\begin{align*} 1-p \end{align*}$ ist.

12.11.2015, 22:48

Tremonia

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So habs hochgeladen hoffe mal es ist leserlich...

http://img4web.com/view/37JXMU

14.11.2015, 10:21

Tremonia

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Also

$\begin{eqnarray*} P(X\leq i)=\sum\limits_{k=0}^{i} p^{k}(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

soll gleich

$\begin{eqnarray*} P(Y\geq n-i)=\sum\limits_{l=n-i}^{n} p^{n-(n-i)}(1-p)^{n-i} \end{eqnarray*}$

mit der von dir genannten Umschreibung ergibt sich

$\begin{eqnarray*} P(Y\geq j)=\sum\limits_{l=j}^{n} q^{l}(1-q)^{n-l} \end{eqnarray*}$

jetzt läuft die eine Summe von 0 bis i und die andere von j bis n...

Woher weiß ich, dass es eine identische Anzahl an Summenelementen ist?

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