Vollständige Induktion Summe bis 2n

13.11.2015, 00:30	Jessi95	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Summe bis 2n Hallo zusammen, Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter. Wir sollen zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{j=2}^{2n} 7^{-j} = \frac{1}{49}-\frac{1}{6} (\frac{1}{7})^{2n} \end{eqnarray}$ Der Induktionsanfang ist klar, Induktionsvoraussetzung ist gerade das was oben steht für ein festes, beliebiges $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Für den Induktionsschritt gilt: $\begin{eqnarray} n \to n+1 \end{eqnarray}$ Also gerade: $\begin{eqnarray} \sum_{j=2}^{2n+2}7^{-j} = \sum_{j=2}^{2n} 7^{-j} + 7^{-n-1} \end{eqnarray}$ Dann gilt doch mit der Induktionsvoraussetzung gerade: $\begin{eqnarray} = \frac{1}{49}-\frac{1}{6} (\frac{1}{7})^{2n} + 7^{-n-1} \end{eqnarray}$ Egal wie ich umforme erhalte ich nie das Ergebnis: $\begin{eqnarray} \sum_{j=2}^{2(n+1)} 7^{-j} = \frac{1}{49}-\frac{1}{6} (\frac{1}{7})^{2(n+1)} \end{eqnarray}$ Wo ist denn mein Fehler?
13.11.2015, 01:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Fehler ist ganz einfach der, dass du dich gründlich "verzählt" hast. Beim Schluss von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ kommen wegen des Laufindex $\begin{eqnarray} 2n \end{eqnarray}$ erstens einmal 2 (!) Summanden hinzu, und zweitens haben diese beiden Summanden dann die Indices $\begin{eqnarray} 2n+1 \end{eqnarray}$ und der nachfolgende $\begin{eqnarray} 2n+2 \end{eqnarray}$ (also auch auf das "2n" hast du vergessen). Also ist gerade: $\begin{eqnarray} \sum_{j=2}^{2n+2}7^{-j} = \sum_{j=2}^{2n} 7^{-j} + 7^{-2n-1} + 7^{-2n-2} \end{eqnarray}$ Und weiter kommt dann $\begin{eqnarray} = \frac{1}{49} - \frac 1 6 (\frac 1 7)^{2n} + (\frac 1 7)^{2n+1} + (\frac 1 7)^{2n+2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{49} - (\frac 1 7)^{2n+2} \left[ (\frac 1 6) \cdot 49 - 7 - 1 \right] = \ldots \end{eqnarray}$ mY+

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »