Beschränktheit (Beweis) - Seite 2

24.11.2015, 16:18

Math_Love15

Ohh nöö

Also ich würde sagen das der letzte Häufungspunkte -1 ist aber da bin ich mir nicht so sicher..
Mich würde es noch interessieren wenn ich begründen müsste ob M offenen, abgeschlossen oder Kompakt ist würde ich sagen :
Zu offen: sie ist nicht offen da nicht jeder Punkt ein innerer Punkt ist d.h es gibt nicht zu jedem Punkt eine kleine Epsilon Umgebung die ganz in der Menge liegt.
Zu Abgeschlossen: das würde stimmen wenn -1 auch ein HP ist aber sonst nicht
Zu Kompakt: das verstehe ich nicht so ganz

24.11.2015, 16:27

10001000Nick1

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Ja, -1 ist der letzte Häufungspunkt. smile

Die Menge der Häufungspunkte ist also $\begin{eqnarray*} \{-1\}\cup[1,2]\cup[9,10] \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Math_Love15
Zu offen: sie ist nicht offen da nicht jeder Punkt ein innerer Punkt ist d.h es gibt nicht zu jedem Punkt eine kleine Epsilon Umgebung die ganz in der Menge liegt.

Richtig; eine Menge ist genau dann offen, wenn jeder ihrer Punkte ein innerer Punkt ist.

Zitat:

Original von Math_Love15
Zu Abgeschlossen: das würde stimmen wenn -1 auch ein HP ist aber sonst nicht

Wieso das?
Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie all ihre Häufungspunkte enthält.
Alternativ kannst du auch überprüfen, ob das Komplement von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ offen ist.

Wann ist denn eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ kompakt (Satz von Heine-Borel)?

24.11.2015, 18:56

Math_Love15

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Ja da in jeder Umgebung ein Häufungspunkte existiert ist die Menge Abgeschlossen stimmte ?
"Kompakte Mengen sind nach Satz 5909E in metrischen Räumen also auch im Rn beschränkt und abgeschlossen. Im Gegensatz zu allgemeinen metrischen Räumen gilt im Rn aber auch die Umkehrung"
Also ist die menge auch kompakt da die menge abgeschlossen und beschränkt ist ?

24.11.2015, 22:57

10001000Nick1

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Erstmal zur Abgeschlossenheit:

Zitat:

Original von Math_Love15
Ja da in jeder Umgebung ein Häufungspunkte existiert ist die Menge Abgeschlossen stimmte ?

Ich weiß zwar nicht, was du damit sagen willst; aber das stimmt nicht.

Ich habe doch oben die Menge der Häufungspunkte aufgeschrieben: $\begin{eqnarray*} \{-1\}\cup[1,2]\cup[9,10] \end{eqnarray*}$ . Du musst nur überprüfen, ob jeder dieser Häufungspunkte in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ enthalten ist; d.h. ob $\begin{eqnarray*} \{-1\}\cup[1,2]\cup[9,10]\subseteq M \end{eqnarray*}$ gilt.

25.11.2015, 10:10

Math_Love15

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Nein da die 9 und die 10 nicht in M enthalten sind. Also ist es nicht abgeschlossen stimmte?
also kann die Menge auch nicht Kompakt sein wegen der Abgeschlossenheit die nicht gegeben ist.

25.11.2015, 15:50

10001000Nick1

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Stimmt beides.