Stammfunktion eines Taylorpolynoms

13.11.2015, 20:03

Probability

Stammfunktion eines Taylorpolynoms

Hallo

ich soll für $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ das n-te Taylorpolynom $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ ausrechnen, wo jene Stammfunktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ annimmt. Entwickelt wird um den Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ natürlich.

Also das n-te Taylorpolynom sieht erstmal so aus:
$\begin{eqnarray*} T_n(x) = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}x^k \end{eqnarray*}$

Integriert wäre das folgendes:
$\begin{eqnarray*} T_n'(x)=\int T_n(x)dx = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{(k+1)!}x^{k+1} \end{eqnarray*}$

Was suchen wir? Für $\begin{eqnarray*} T_n'(0)=1 \end{eqnarray*}$ suchen wir das n.

(' wäre für die Ableitung eigentlich, aber ich hab so erstmal die Stammfunktion gekennzeichnet)

Naja auf n umformen geht da schlecht. Also muss ich durchprobieren, wo das zu trifft, oder hat da jemand einen Tipp/Trick wie ich das angehen könnte?

Gruß
Probability

13.11.2015, 20:47

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stammfunktion eines Taylorpolynoms
Ich verstehe die Aufgabe nicht einmal. Jede (stetige) Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen. Und jede stetige Funktion hat eine Stammfunktion, s.d. sie an der Stelle $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ den Wert 1 animmt.

Und zum Umformen: Bei $\begin{eqnarray*} T'_n(0) \end{eqnarray*}$ setzt du für $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ ein. Damit $\begin{eqnarray*} T'_n(0) = 0 \end{eqnarray*}$ , unabhägig von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

13.11.2015, 20:58

Probability

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zitiere mal:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie für das n-te Taylorpolynom $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ jene Stammfunktion, die an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ annimmt.

Ja gut simmt. die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ und an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ kommt 1 raus. Ist die Aufgabenstellung immer noch "doof" gestellt?

Außerdem, wenn die Stammfunktion $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ den Wert 1 annimmt, heißt das, dass es auch für alle Taylerpolynome n gilt? n für pos. ganze Zahlen.

13.11.2015, 21:32

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe das so:

1.) bestimme das n-te Taylorpolynom

2.) gib davon die allgemeine Stammfunktion F(x) an

3.) bestimme die Integrationskonstante C derart dass F(0)=1 ist.

genau so steht es in der Aufgabe.

------------------------------------

EDIT: also nicht diskutieren sondern genau das machen was der Lehrer will Augenzwinkern

14.11.2015, 09:45

Probability

Auf diesen Beitrag antworten »

1.)
$\begin{eqnarray*} T_n(x) = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}x^k \end{eqnarray*}$

2.)
$\begin{eqnarray*} T_n'(x)=\int T_n(x)dx = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{(k+1)!}x^{k+1} + C \end{eqnarray*}$

3.) Die Integrationskonstante C bestimmen, dass F(0)=1 ist? Wo steht denn das? Ich kann das gar nicht herauslesen.

Wenn $\begin{eqnarray*} C=1-\frac{1}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} F(0)=1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} T_n'(0)=1 \end{eqnarray*}$ .

Punkt 1-3 richtig? Jedoch verstehe ich nicht, warum Punkt3 ein Teil der Aufgabe ist.

14.11.2015, 10:54

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe sieht nicht vor, ein Taylorpolynom $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, s.d. "die" Stammfunktion davon an der Stelle $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ hat (hatte ja schon gesagt, dass das nicht sinnvoll ist). Du sollst die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ ermitteln, s.d. sie für $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ den richtigen Wert annimmt.

Alle Stammfunktionen (auf Intervallen) unterscheiden sich nur um eine additive Konstante. D.h. der Freiheitsgrad um die richtige Stammfunktion zu finden ist genau die konstante.

Dein Punkt 3 stimmt nicht, C kann nicht von k abhängen. Und nachdem ich schon gesagt habe, dass $\begin{eqnarray*} T'_n(0) = 0 \end{eqnarray*}$ war als die Konstante $\begin{eqnarray*} C=0 \end{eqnarray*}$ , sollte recht leicht einzusehen sein, dass $\begin{eqnarray*} C=1 \end{eqnarray*}$ sein muss.

Interessant ist, dass die Stammfunktion nun wieder ein Taylorpolynom der Exponentialfunktion ist -- das zu sehen ist wohl die ganze Aufgabe.

14.11.2015, 10:56

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Preisfrage: was ist denn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{(k+1)!}x^{k+1} \bigg |_{x=0} \end{eqnarray*}$ ?

also ist $\begin{eqnarray*} F(0)=\Tilde T_n(0) =... \end{eqnarray*}$

( bitte keinen Strich zur Unterscheidung von Funktionen verwenden. Klar warum ? )

Zitat:

3.) Die Integrationskonstante C bestimmen, dass F(0)=1 ist? Wo steht denn das? Ich kann das gar nicht herauslesen.

ich schon:

Zitat:

Berechnen Sie für das n-te Taylorpolynom $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ jene Stammfunktion ...

EDIT @Ifindu: Danke für die Hilfe.

14.11.2015, 11:52

Probability

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm okay, danke.

$\begin{eqnarray*} F(0)=\Tilde T_n(0) =0 \end{eqnarray*}$ , weil 0^irgendetwas = 0 ist. Also ist C auch automatisch 0?
Und wenn $\begin{eqnarray*} F(0)=\Tilde T_n(0) = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{(k+1)!}x^{k+1} \bigg |_{x=0} + 1 = 1 \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} C=1 \end{eqnarray*}$ . Ist das die gesuchte Funktion oben? Aber so ganz ist es mir nicht klar. $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ hat doch unendlich viele Stammfunktionen, weil ja n gegen unendlich geht. Die Stammfunktionen unterscheiden sich um k.

Ich soll $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ ermitteln, sodass sie für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ einen richtigen Wert annimmt? Naja $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ergibt Null. Die e-funktion ist aber an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ Eins, d.h. C muss 1 sein, sodass mein Taylorpolynom n-ten grades(n geht gegen unendlich) auch 1 ergibt. Eben durch das C.

Richtig verstanden?

14.11.2015, 12:16

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

immer schön der Reihe nach:

a.)
die beliebige Stammfunktion $\begin{eqnarray*} \Tilde T_n(x) \end{eqnarray*}$ enthält additiv die Konstante C

b.) ihr Wert an der Stelle Null ist C: $\begin{eqnarray*} \Tilde T_n(0)=C \end{eqnarray*}$

c.) es ist gewünscht, dass der Funktionswert 1 ist.

$\begin{eqnarray*} \underbrace {\Tilde T_n(0)}_{\stackrel {!}{=}1}=C \end{eqnarray*}$

und deshalb gilt C=1
-----------------------------------------
n ist eine Formvariable, also eine formale Konstante und geht nicht nach unendlich.

und

$\begin{eqnarray*} G(x):= 1+\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{(k+1)!}x^{k+1} \end{eqnarray*}$

ist die gesuchte Funktion.

Neue Frage »

Antworten »

Stammfunktion eines Taylorpolynoms

Verwandte Themen