Beweis(Stammfkt.)

14.11.2015, 07:49	Abstract	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis(Stammfkt.) Guten Morgen! Meine Aufgabe ist es: f,g wird abgebildet in bzw. auf den reellen Zahlen mit den Stammfunktionen F,G ebenfalls in den reellen Zahlen. Zu zeigen ist, dass aF+bG eine Stammfunktion von af+bg ist. a,b sind übrigens auch reelle zahlen. Beweis: Sei $\begin{eqnarray} f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ reelle Funktionen und $\begin{eqnarray} F,G: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ die Stammfunktionen von f,g. Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray} aF+bG \end{eqnarray}$ die Stammfunktion von $\begin{eqnarray} af+bf \end{eqnarray}$ ist. $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} F(x) = \int f(x)dx \rightarrow aF(x) = \int af(x) dx = a\int f(x)dx \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G(x) = \int g(x)dx \rightarrow bG(x) = \int bg(x) dx = b\int g(x)dx \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} aF(x)+bG(x)=a\int f(x)dx + b\int g(x)dx=\int af(x)+bg(x)dx \end{eqnarray}$ Also ist gezeigt, dass aF+bG die Stammfunktion von af+bg ist. Beweis in Ordnung? LG Abstract
14.11.2015, 07:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis(Stammfkt.) Bei solchen Sachen ist es immer schwer zu sagen, ob der Beweis in Ordnung -- bei solch elementaren Sachen hängt es stark davon ab, wie man Sachen definiert hat und welche Eigenschaften man benutzen darf. So ist dein Beweis in Kurzform "Die Stammfunktion ist ein Integral und das Integral ist linear". Wenn ihr Stammfunktion so definiert habt, und gezeigt habt, dass das Integral linear ist, so ist alles in Ordnung. Wenn nicht, dann eben nicht.
14.11.2015, 08:23	Abstract	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis(Stammfkt.) Die Definition ist im Anhang. Also ist mein Beweis in Ordnung, da ja laut Satz 3.2 das so definiert ist?
14.11.2015, 08:26	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis(Stammfkt.) Sätze definieren nicht, sie sagen etwas über Definitionen. Aber wenn ihr die beiden Eigenschaften benutzen dürft und nicht im Beweis steht "Siehe Übungsaufgabe" (dann meint man nämlich genau diese hier), dann passt alles. Ich würde bloss überall dran schreiben wo welche Eigenschaft benutzt wird.
14.11.2015, 09:45	Abstract	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke. Einen kniffligen Fall hätte ich da noch: Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray} G(x)=\frac{1}{a}F(ax+b) \end{eqnarray}$ die Stammfunktion von $\begin{eqnarray} g(x)=f(ax+b) \end{eqnarray}$ ist. Wobei $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb{R} \wedge a \neq 0 \end{eqnarray}$ Was mich stört, ist dieses $\begin{eqnarray} \frac{1}{a} \end{eqnarray}$ . Wie kann man eine Funktion ableiten und dann später ein 1/a stehen haben? Würde mich über ein paar Tipps freuen, leider komme ich da ncht weiter.
14.11.2015, 09:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist Substitutionsregel. Ich nehme mal an ihr habt definiert, dass $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist, falls $\begin{eqnarray} F' = f \end{eqnarray}$ . Dann musst du $\begin{eqnarray} G' = g \end{eqnarray}$ zeigen. Also mit Kettenregel ableiten.
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