Faktorgruppe, p Gruppe

14.11.2015, 10:27	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorgruppe, p Gruppe Meine Frage: Warum ist jede Faktorgruppe einer p-Gruppe auch eine p-Gruppe? Meine Ideen: Hallo! Sei p eine Primzahl.Eine Gruppe G heißt p-Gruppe, wenn die Ordnung jedes Elements von G eine Potenz von p ist. Im Fall G endlich ist die Definition äquivalent zu $\begin{eqnarray} \|G\| \end{eqnarray}$ ist eine Potenz von p (d.h. $\begin{eqnarray} \exists n \in \mathbb{Z}, n\ge 0, \|G\|=p^n \end{eqnarray}$ ) Sei nun $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ eine p-Gruppe und $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ein Normalteiler von P. Ich möchte verstehen warum $\begin{eqnarray} P/N=\{sN\|s\in P\} \end{eqnarray}$ auch eine p Gruppe ist. Es gilt: $\begin{eqnarray} \|P/N\|= \frac{\|P\|}{\|N\|}=\frac{p^i}{\|N\|} \end{eqnarray*}$ Liebe Grüße
14.11.2015, 11:27	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorgruppe, p Gruppe Welche Ordnung kann denn N haben und was ist dann der Index von N?
14.11.2015, 13:27	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, Sie wenden Lagrange an! Da $\begin{eqnarray} N \le P \Rightarrow \exists 0 \le s \le n: \|N\|=p^s \end{eqnarray}$ . Demnach $\begin{eqnarray} \|\frac{P}{N}\|=\frac{P\|}{\|N\|}= \frac{p^n}{p^s}=p^{n-s} \end{eqnarray}$ Also auch eine p Gruppe. Okay? Liebe Grüße und Danke!
14.11.2015, 14:28	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir duzen uns hier, wenn's recht ist, und ja, es ist OK.
14.11.2015, 17:04	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, okay

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