Real- und Imaginärteil Betrag und Argument der komplexen Zahlen

14.11.2015, 12:50

Susi5

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Real- und Imaginärteil Betrag und Argument der komplexen Zahlen

Meine Frage:
Hallo, ich hab ein bissel Schwierigkeiten mit der folgenden Aufgabe:
Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil, sowie Betrag und Argument der komplexen Zahlen.
a) $\begin{eqnarray*} z= \frac{10}{6-8i}+2e^{\pi\cdot i\cdot 2} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} z=\left(3cos(\frac{\pi }{5})+3isin(\frac{\pi }{5}) \right)^{5}-i^{8} \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} z=(2+3i)^{3}-(2-3i)^{3}+(-i)^{2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei den ersten beiden erhalte ich eine dezimalzahl und ich vermute das es bestimmt ein Trick gibt wie man das besser hinkriegt. smile

smile

14.11.2015, 13:00

moody_ds

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Hallo

Wink

Wie wäre es denn wenn du uns deinen Weg mitteilt oder zumindest deine Ergebnisse? Was meinst du mit du erhälst eine Dezimalzahl, Re(z)=1.2 z.B.? Rechne mit Brüchen, dann erhälst du "schönere" Ergebnisse.

LG moody

14.11.2015, 13:35

Susi5

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Wink

Also ich hab erst einmal so angefangen und bin zu dem Ergebnis gekommen
$\begin{eqnarray*} \frac{10}{6-8i} +2e^{\pi i2} =...=\frac{3+4i+(2e^{2\pi i}\cdot 5) }{5} \end{eqnarray*}$
Wenn ich jetzt das ausrechnen möchte $\begin{eqnarray*} (2e^{2\pi i}\cdot 5) \end{eqnarray*}$
kommt bei mir eine ziemlich hässliche Dezimalzahl raus. verwirrt

verwirrt

14.11.2015, 13:38

Susi5

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Korrektur:
$\begin{eqnarray*} \frac{10}{6-8i}\cdot \frac{6+8i}{6+8i} +2e^{\pi i2} =...=\frac{3+4i+(2e^{2\pi i}\cdot 5) }{5} \end{eqnarray*}$ smile

smile

14.11.2015, 14:19

moody_ds

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Zitat:

Original von Susi5
$\begin{eqnarray*} \frac{10}{6-8i}\cdot \frac{6+8i}{6+8i} +2\color{red}e^{\pi i 2}\color{black}=... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{\phi i} = cos(\phi) + i sin(\phi) \end{eqnarray*}$

Fang ersteinmal damit an Wink

Wink

14.11.2015, 15:15

Susi5

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also wäre das so richtig ?
$\begin{eqnarray*} 2*\left(cos(\pi)+2i sin(\pi ) \right) \end{eqnarray*}$

oder so

$\begin{eqnarray*} 2*\left(2cos(\pi)+i sin(\pi ) \right) \end{eqnarray*}$

? Wink

Wink

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14.11.2015, 15:25

moody_ds

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Letzer edit: Mein erste Weg geht natürlich auch, weiß nicht was mich beim zweiten Mal über den Post schauen aus der Bahn gebracht hat Hammer

Hammer

Man kann es also entweder so machen:

$\begin{eqnarray*} e^{2*\pi*i} = e^{(\pi*i)^2} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} e^{(\pi*i)} = -1 \end{eqnarray*}$ eulersche Identität

Oder du nimmst $\begin{eqnarray*} \phi = 2\pi \end{eqnarray*}$ .

14.11.2015, 19:38

susi5

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Wow

Freude

Also ich würde es jetzt einfach mal mit der eulersche Identität machen und ich deute mal die fehlende 2 als exponenten nämlich $\begin{eqnarray*} -1^{2} \end{eqnarray*}$ stimmt das?
Also wenn das stimmt dann komme ich dieses Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} \frac{13}{5}+\frac{4}{5}i \end{eqnarray*}$ smile

smile

14.11.2015, 19:54

moody_ds

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Das stimmt Freude

Freude

14.11.2015, 20:10

susi5

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Dankeschön Tanzen

Tanzen

Wie könnte ich die b) vereinfachen? Kann man das auch irgendwie zu

$\begin{eqnarray*} cos(\phi) + i sin(\phi)=e^{\phi i} \end{eqnarray*}$ umwandeln?

15.11.2015, 02:22

Dopap

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Zitat:

Original von moody_ds

$\begin{eqnarray*} e^{2*\pi*i} = e^{(\pi*i)^2} \end{eqnarray*}$

das würde ich aber so schreiben:

$\begin{eqnarray*} ... =(e^{\pi i})^2 \end{eqnarray*}$

15.11.2015, 13:58

moody_ds

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Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} ... =(e^{\pi i})^2 \end{eqnarray*}$

geschockt

Danke!

Zitat:

Original von susi5
$\begin{eqnarray*} cos(\phi) + i sin(\phi)=e^{\phi i} \end{eqnarray*}$ umwandeln?

Ja.

Sehen wir uns dazu den Satz von Moivre an (das folgt aus der Eulerschen Formeln und den Potenzgesetzen)

$\begin{eqnarray*} (cos(\phi)+i sin(\phi))^n = cos(n \phi) + i sin (n \phi) \end{eqnarray*}$

Zusammen mit dem Potenzgesetz $\begin{eqnarray*} a^n * b^n = (ab)^n \end{eqnarray*}$ solltest du da was machen können.

lg

17.11.2015, 20:00

Susi5

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Also kommt doch erst mal das raus $\begin{eqnarray*} 3cos(\pi )+3isin(\pi ))-i^{8} \end{eqnarray*}$ ich weiß nicht was du mit dem Potenzgesetzt gemeint hatten da ich ja jetzt eigentlich gar keine Potenzen mehr habe bis auf die $\begin{eqnarray*} i^{8} \end{eqnarray*}$ dann -(+1) ist. Könnte man das nicht noch als eulersche Identität umformen, also so:
$\begin{eqnarray*} 3e^{\pi i3} -1 \end{eqnarray*}$

18.11.2015, 10:33

Steffen Bühler

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Nein, die Potenzgesetze sagen was anderes.

$\begin{align*} \bigg(3 \cos \big(\frac{\pi }{5} \big)+3i \sin \big(\frac{\pi }{5} \big) \bigg)^{5}-i^{8} \end{align*}$

$\begin{align*} = \left(3 \cdot e ^{\frac{\pi }{5} \cdot i}\right)^5 - \left(1 \cdot e ^{\frac{\pi }{2} \cdot i}\right)^8 \end{align*}$

$\begin{align*} = 3^5 \cdot e^{5 \cdot \frac{\pi }{5} \cdot i} - 1^8 \cdot e ^{8 \cdot \frac{\pi }{2} \cdot i} \end{align*}$

$\begin{align*} = \dots \end{align*}$

Kommst Du jetzt weiter?

Viele Grüße
Steffen

18.11.2015, 13:25

Susi5

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Dankeschön das du mir geantwortet hast. smile

smile

Also ich verstehe eine Sache nicht nämlich, wie du von dem $\begin{eqnarray*} ...3isin(\frac{\pi}{5}))^5-i^8 \end{eqnarray*}$ zu dem kommst $\begin{eqnarray*} ...-(1e^{\frac{\pi }{2}i})^8 \end{eqnarray*}$ .
Ich bin auf einen Wert von -244 ist das richtig?

18.11.2015, 13:56

Steffen Bühler

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Die Polardarstellung von i besteht wie immer aus Betrag und Winkel. Der Betrag von i ist 1, und der Winkel ist $\begin{align*} \frac {\pi}2 \end{align*}$ . Somit gilt $\begin{align*} i = 1 \cdot e ^{\frac{\pi }{2} \cdot i} \end{align*}$ .

Ansonsten ist die Lösung -244 korrekt.

Viele Grüße
Steffen

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