Aufgabe: Lehrer würfelt Note

14.11.2015, 13:18

dacat

Aufgabe: Lehrer würfelt Note

Hallo und guten Tag!

Benötige mal jemanden, der über folgende Aufgabe drüberschaut - sind alles noch Grundlagen der Stochastik, aber irgendwie bereitet mir das ganze ein bisschen Kopfzerbrechen.

[attach]39738[/attach]

zu a)

X ... niedrigste gewürfelte Zahl (bzw. vergebene Klausurnote)
P ... Anzahl der möglichichen Kombinationen (mit Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge)

$\begin{eqnarray*} P = \begin{pmatrix} 6+3-1 \\ 3 \end{pmatrix} P = 56 f(X=1) = \frac{21}{56} f(X=2) = \frac{15}{56} f(X=3) = \frac{10}{56} f(X=4) = \frac{6}{56} f(X=5) = \frac{3}{56} f(X=6) = \frac{1}{56} f(sonst) = 0 F(X>6) = 0 F(X=6) = \frac{1}{56} F(X=5) = \frac{4}{56} F(X=4) = \frac{10}{56} F(X=3) = \frac{20}{56} F(X=2) = \frac{35}{56} F(X=1) = \frac{56}{56} F(X<1) = 1 \end{eqnarray*}$

zu b)
A ... bestandene Prüfung (bzw. Note 1,2,3 oder 4)

$\begin{eqnarray*} P(A) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = \frac{52}{56} = 0.9286 \end{eqnarray*}$

Wäre dankbar, wenn mal jemand drüberschauen könnte, auch wenn es für den Großteil hier vermutlich sehr lapidar sein dürfte.

Vielen Dank im Voraus!

14.11.2015, 13:24

HAL 9000

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Falsches Wahrscheinlichkeitsmodell - siehe hier.

14.11.2015, 14:37

dacat

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Danke schonmal für deine Antwort. Da ich noch nicht wirklich in der Materie drinstecke: könntest du mir einen Ansatz mit einem geeigneterem Wahrscheinlichkeitsmodell als dem von Laplace nennen?

14.11.2015, 18:22

HAL 9000

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"Laplacesch" ist nicht grundsätzlich falsch, nur eben Laplacesch mit ununterscheidbaren Würfeln!

Laplacesch mit unterscheidbaren Würfeln ist richtig in dem Sinne, dass jeder einzelne der drei Würfel die Augenzahlen 1..6 mit gleicher Wahrscheinlichkeit einnehmen kann, und das unabhängig voneinander - und das ist es ja, was man gewöhnlich von solchen Würfeln erwartet.

D.h., der passende Grundraum umfasst hier nicht $\begin{align*} \binom{8}{3}=56 \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} 6^3=216 \end{align*}$ gleichwahrscheinliche Zustände.

14.11.2015, 20:14

dacat

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So, habe es nun nochmal gemacht. Zwar auf eine äußerst hässliche Art und Weise, aber sei's drum.

folgendes habe ich rausbekommen für die Massenfunktion f(x):

$\begin{eqnarray*} f(1) = \frac{91}{216} f(2) = \frac{61}{216} f(3) = \frac{37}{216} f(4) = \frac{19}{216} f(5) = \frac{7}{216} f(6) = \frac{1}{216} \end{eqnarray*}$

damit komme ich bei b) natürlich auch auf ein anderes Ergebnis und zwar:

$\begin{eqnarray*} \frac{208}{216} \end{eqnarray*}$

Passt es so?
Wie hätte ich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten effektiver rausfinden können? bzw. nach welcher Formel?

Habe mir im Prinzip im Kopf die Kombinationspakete (je 36 Kombinationen pro Paket mit insgesamt 6 Paketen) gedacht und dann jeweils die Spalten- und Zeilensummen zusammenaddiert.

Also:

111 121
112 122
113 123
114 124
115 125
116 126 ...
...

und da kam ich dann eben auf:
1: 36 + 5*11
2: 25 + 4*9
3: 16 + 3*7
4: 9 + 2*5
5: 4 + 1*3
6: 1

sehr unschön eben unglücklich

14.11.2015, 21:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von dacat
Passt es so?

Passt.

Zitat:

Original von dacat
Wie hätte ich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten effektiver rausfinden können? bzw. nach welcher Formel?
[...]
sehr unschön eben unglücklich

Die Berechnung muss nicht "hässlich" sein:

$\begin{align*} X\geq k \end{align*}$ heißt ja, dass das Minimum der drei Augenzahlen mindestens $\begin{align*} k \end{align*}$ ist. Das ist gleichbedeutend damit, dass alle drei Augenzahlen mindestens $\begin{align*} k \end{align*}$ sind, und diese Wahrscheinlichkeit ist $\begin{align*} P(X\geq k) = \frac{(7-k)^3}{6^3} \end{align*}$ für $\begin{align*} k=1,\ldots,6 \end{align*}$ , sogar auch noch für $\begin{align*} k=7 \end{align*}$ . Damit haben wir die Verteilungsfunktion

$\begin{align*} F(k) = P(X\leq k) = 1-P(X\geq k+1) = 1-\frac{(6-k)^3}{6^3} \end{align*}$ für $\begin{align*} k=0,1,\ldots,6 \end{align*}$ .

Insbesondere bedeutet das dann

$\begin{align*} P(X=k) = P(X\leq k) - P(X\leq k-1) = \frac{(7-k)^3-(6-k)^3}{6^3} \end{align*}$ für $\begin{align*} k=1,\ldots,6 \end{align*}$ .

15.11.2015, 13:23

dacat

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Dankeschön! Freude

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