Infimum/Supremum

14.11.2015, 14:20

Tania89

Infimum/Supremum

$\begin{eqnarray*} M \subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M = \{ x \in \mathbb{Q} : x^2 < 7 \} \end{eqnarray*}$

Man soll das Infimum und das Supremum bestimmen.

In unserem Buch ist ein ähnliches Beispiel angegeben: $\begin{eqnarray*} M = \{ x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2 \} \end{eqnarray*}$ . Dort steht, dass M kein Supremum hat, ich verstehe aber nicht, warum.

14.11.2015, 14:23

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Grundmenge wurde denn in deinem Buch bei dem Beispiel angegeben?

Als Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ besitzen beide Mengen ein Infimum und Supremum; mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ als Grundmenge nicht.

14.11.2015, 14:36

Rain896

Auf diesen Beitrag antworten »

Es wurde keine Grundmenge angegeben, also sind es wahrscheinlich die rationalen Zahlen.

Kann ich die Aufgabe einfach so lösen?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ ist das Supremum, da $\begin{eqnarray*} x < \sqrt{7} \forall x \in M \end{eqnarray*}$ . Potenzen sind eindeutig.

0 ist das Infimum.

14.11.2015, 14:41

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Rain896
$\begin{eqnarray*} \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ ist das Supremum, da $\begin{eqnarray*} x < \sqrt{7} \forall x \in M \end{eqnarray*}$ .

Das Supremum ist richtig (und hier siehst du auch, dass die Menge nur in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Supremum besitzt, nicht aber in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ; es ist nämlich $\begin{eqnarray*} \sqrt{7}\not\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ ). Wie ausführlich das noch begründet werden muss, weiß ich nicht. Wie habt ihr denn die Wurzel aus einer Zahl definiert?

Zitat:

Original von Rain896
Potenzen sind eindeutig.

Meinst du da nicht eher Wurzeln?

Zitat:

Original von Rain896
0 ist das Infimum.

Das stimmt nicht.

Übrigens wäre es schön, wenn du bei einem Namen bleibst. smile

14.11.2015, 16:36

Rain896

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben Wurzeln mittels Potenzen definiert, also:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}, x \geq 0 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Dann existiert genau eine Zahl $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb{R}, y \geq 0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} y^n =x \end{eqnarray*}$ . Dieses y ist die n-te Wurzel von x.

Aja, du hast Recht, ich hatte die negativen Zahlen vergessen. Also $\begin{eqnarray*} - \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ ?

(sorry)

14.11.2015, 16:54

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, $\begin{eqnarray*} -\sqrt{7} \end{eqnarray*}$ ist das Infimum.

14.11.2015, 18:15

Rain896

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Wie kann ich das genauer begründen?

14.11.2015, 18:42

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst zeigst du, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ eine obere Schranke ist; und dann, dass es die kleinste ist (d.h. du nimmst an, es gäbe eine kleinere obere Schranke und führst das zum Widerspruch).

14.11.2015, 21:18

Rain896

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} x^2 <7 \Leftrightarrow x < \sqrt{7} \forall x \in M \Rightarrow \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ ist eine obere Schranke von M.

Angenommen, $\begin{eqnarray*} \exists x_0: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \leq x_0 < \sqrt{7} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x^2 \leq {x_0}^2 < 7 \forall x \in M \end{eqnarray*}$

Falls $\begin{eqnarray*} {x_0}^2 \leq 1 \Rightarrow 2^2=4<7 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ wäre somit keine obere Schranke von M $\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1< {x_0}^2 < 7 \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} x_0 < \frac{{x_0}^2 +7}{2} <7 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{{x_0}^2 +7}{2} \in M \end{eqnarray*}$ ist kann $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ nicht das Supremum sein.

15.11.2015, 12:43

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Rain896
$\begin{eqnarray*} x^2 <7 \Leftrightarrow x < \sqrt{7} \forall x \in M \Rightarrow \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ ist eine obere Schranke von M.

Die erste Äquivalenz gilt nur, falls $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ (aber da in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ positive Zahlen enthalten sind, interessieren die negativen bei der oberen Schranke nicht).
Also besser so: $\begin{eqnarray*} \forall x\geq 0: (x^2<7\Leftrightarrow x<\sqrt{7}) \Rightarrow \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ ist obere Schranke von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Rain896
Da $\begin{eqnarray*} x_0 < \frac{{x_0}^2 +7}{2} <7 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{{x_0}^2 +7}{2} \in M \end{eqnarray*}$ ist kann $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ nicht das Supremum sein.

Das stimmt so nicht. Der Ansatz ist aber gut; vielleicht kannst du das noch korrigieren.

18.11.2015, 02:20

Rain896

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} {x_0}^2 < \frac{{x_0}^2 +7}{2} <7 \Rightarrow \sqrt{ \frac{{x_0}^2 +7}{2}} \in M und x_0 < \sqrt{\frac{{x_0}^2 +7}{2}} < \sqrt{7} \end{eqnarray*}$

Falls $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ wirklich das Supremum wäre, würde $\begin{eqnarray*} x_0 \geq x \forall x \in M \end{eqnarray*}$ gelten. Da aber $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{{x_0}^2 +7}{2}} \end{eqnarray*}$ in M liegt und $\begin{eqnarray*} x_0 < \sqrt{\frac{{x_0}^2 +7}{2}} \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ kein Supremum.

19.11.2015, 16:09

Rain896

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es so richtig? Und kann ich das Infimum genauso zeigen?

19.11.2015, 16:24

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Passt.