Algorithmus zur Normberechnung

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Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
Algorithmus zur Normberechnung
Meine Frage:
Guten Abend smile

Ich möchte einen effizienten Algorithmus zur Berechnung von bestimmen.

Meine Ideen:
stellt ein dyadisches Produkt dar, somit setze ich , wobei .
Für die 2-Norm gilt , wobei die Eigenwerte bezeichnet.
Dabei gilt .





Nun weiß ich jedoch nicht, wie ich daraus einen effizienten Algorithmus bestimmen kann. Ich hoffe, ihr könnt mir dabei helfen.

Vielen Dank im Voraus. Augenzwinkern
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RE: Algorithmus zur Normberechnung
Wenn dann ist und die ganze Sache wird erheblich einfacher.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algorithmus zur Normberechnung
Aber ist doch nicht gleich , oder?

Oder ist meine Beziehung falsch?

____

würde die Sache natürlich einfacher machen.
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RE: Algorithmus zur Normberechnung
Sie ist in der Tat falsch
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algorithmus zur Normberechnung
Kannst du mir bitte näher erläutern, warum.
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RE: Algorithmus zur Normberechnung
Schau dir die Regeln für das Transponieren von Matrixen(produkten) an.
 
 
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algorithmus zur Normberechnung
Danke. Jetzt leuchtet es mir ein. Die Produkte müssen vertauscht werden. Freude
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RE: Algorithmus zur Normberechnung
Ja, die Reihenfolge der Faktoren wird beim Tranponieren umgekehrt
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algorithmus zur Normberechnung
Also gilt ?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algorithmus zur Normberechnung
Der größte und einzige Eigenwert ist somit .
Es gilt also . Ist das so korrekt?
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RE: Algorithmus zur Normberechnung
Nein. Du hast falsch berechnet
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algorithmus zur Normberechnung


Da muss ich mich verschrieben haben...
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RE: Algorithmus zur Normberechnung
und wieso soll das die Identität sein? verwirrt
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algorithmus zur Normberechnung
Oh, da muss ich gerade etwas verwechselt haben.

Also belassen wir es erst einmal bei .

Doch wie komm ich nun weiter? verwirrt
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RE: Algorithmus zur Normberechnung
Berechne das Produkt der mittleren Faktoren
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algorithmus zur Normberechnung
Das (Kreuz-)Produkt für beispielsweise lautet:

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RE: Algorithmus zur Normberechnung
Du meinst das Skalarprodukt und das ist wiederum gleich
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algorithmus zur Normberechnung
Ja, das habe ich verstanden, dass .

Das bedeutet für meine Gleichung:
.

Und nun?
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RE: Algorithmus zur Normberechnung
Du überlegst dir, was das Bild von ist.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algorithmus zur Normberechnung
Jetzt bin ich ganz überfragt. unglücklich Ich weiß zwar, was ein Bild ist, aber nicht was das Bild der Matrix ist. Auf jeden Fall eine Matrix aus dem .
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RE: Algorithmus zur Normberechnung
ist eine lineare Abbildung. Du weißt, was das Bild einer Abbildung ist?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algorithmus zur Normberechnung
Ja, das weiß ich. Kurz und knapp gesagt, sind es die Elemente/Ergebnisse aus einer Teilmenge, die eine Funktion in einer Zielmenge annehmen kann.
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RE: Algorithmus zur Normberechnung
Bei einer linearen Abbildung ist das Bild sogar ein Vektorraum. Wie sieht der hier aus?
Wenn du es nicht direkt siehst, schau dir an
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algorithmus zur Normberechnung
Bei ist der Vektorraum ein . Bei jedoch ein .
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RE: Algorithmus zur Normberechnung
Du sollst dir überlegen, wie aussieht und daraus auf das Bild von schließen.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algorithmus zur Normberechnung




Die Diagonalelemente entsprechen .
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RE: Algorithmus zur Normberechnung
Ich dachte an .
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algorithmus zur Normberechnung

Warum darf man hier die Faktoren vertauschen?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algorithmus zur Normberechnung
Und wie bringt mich das bei weiter?
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algorithmus zur Normberechnung
Als erstes überlegst du dir bitte selbst, welche Objekte da vertauscht werden und warum man das machen darf.
Liest du eigentlich was ich schreibe?
Zitat:
Du sollst dir überlegen, wie aussieht und daraus auf das Bild von schließen.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algorithmus zur Normberechnung
Warum ich bei die Reihenfolge der Faktoren ändern kann, leuchtet mir trotz Recherche nicht ein. Kannst du mir das bitte erklären?

Und bezüglich dem Bild von könnte die Schlussfolgerung sein.
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RE: Algorithmus zur Normberechnung
Du verstehst nicht, warum du Faktoren vertauschen kannst, hast aber keine Skrupel es selbst zu tun

und hier ist es prompt falsch.
ist ein dyadisches Produkt, das Ergebnis also eine Matrix. ist ein Skalarprodukt, das Ergenis also eine Zahl.

Das ist übrigens auch der Grund, warum die Vertauschung im anderen Fall korrekt ist
ist eine Zahl, die man mit dem Vektor y vertauschen darf.
Aus

solltest du jetzt erkennen können, von welchem Vektor das Bild von aufgespannt wird.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algorithmus zur Normberechnung
Dann gilt , weil eine Zahl ist.
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RE: Algorithmus zur Normberechnung
Das ist richtig.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algorithmus zur Normberechnung
ist ein daydisches Produkt und spannt somit eine Matrix auf.


Wie bekomme ich nun jedoch einen effizienten Algorithmus zur Berechnung von ? Ich benötige ja die Eigenwerte von .
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RE: Algorithmus zur Normberechnung
Ich habe keine Ahnung, wofür du berechnen willst.
Was zu tun ist, habe ich schon ein paar Mal geschrieben. Wenn du den Weg nicht gehen willst, dann schlage einen anderen vor.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algorithmus zur Normberechnung
Die Aufgabe verlangt von mir einen effizienten Algorithmus zur Berechnung zu finden.

Du meinst, ich soll nun das Bild bestimmen?
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RE: Algorithmus zur Normberechnung
Das meine ich schon seit einer ganzen Weile.

Eine mögliche Vorgehensweise ist dann folgende:
Gib einen Vektor an, der das Bild von aufspannt.
Bestimme die Dimension des Kerns von
Welche Eigenwerte kann also nur haben
Berechne den größten Eigenwert.

Warum man dafür einen Algorithmus braucht, ist mir unklar - es sei denn, ich habe mich auf dem Weg verlaufen.
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