Gaußklammer-stetig?

14.11.2015, 17:28

89Analysis98

Gaußklammer-stetig?

Hallo,

Ich komme bei einer Übungsaufgabe nicht weiter.

Sei $\begin{eqnarray*} f: [0,3) \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f(x) = x- [x] \end{eqnarray*}$ , wobei [x] die größte ganze Zahl $\begin{eqnarray*} \leq x \end{eqnarray*}$ ist. Wo ist f stetig, wo unstetig? Welcher Art sind die Unstetigkeitsstellen?

Weiters betrachte man die Einschränkung $\begin{eqnarray*} f|_{[0,1) \cup [2,3)} \end{eqnarray*}$ von f auf $\begin{eqnarray*} [0,1) \cup [2,3) \end{eqnarray*}$ und gebe irgendeine Fortsetzung davon zu einer stetigen Funktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ an!

Meine Ideen:

Die Gaußklammer ist für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} : x \notin \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ stetig, da sie dort konstant ist, also ist die Funktion dort als Zusammensetzung stetiger Funktionen stetig.

Für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist die Funktion nicht stetig, ich weiß aber nicht, wie man das beweist.

14.11.2015, 18:31

HAL 9000

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Eine Funktion $\begin{align*} f:\;\mathbb{D}\to\mathbb{R} \end{align*}$ ist an einer Stelle $\begin{align*} x\in \operatorname{int}(D) \end{align*}$ genau dann stetig, wenn sowohl der linkkseitige Grenzwert $\begin{align*} \lim_{t\to x-0} f(t) \end{align*}$ als auch der rechtsseitige Grenzwert $\begin{align*} \lim_{t\to x+0} f(t) \end{align*}$ existieren und gleich dem Funktionswert $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ sind.

Im vorliegenden Fall existieren diese links- und rechtsseitigen Grenzwerte, aber für $\begin{align*} x\in\mathbb{Z} \end{align*}$ ist einer dieser beiden einseitigen Grenzwerte verschieden von $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ - überprüf das mal.

P.S.: Mit $\begin{align*} \operatorname{int}(D) \end{align*}$ meine ich das Innere der Definitionsmenge $\begin{align*} D \end{align*}$ der Funktion. Für $\begin{align*} D=\mathbb{R} \end{align*}$ ist natürlich einfach $\begin{align*} \operatorname{int}(D)=\mathbb{R} \end{align*}$ .

14.11.2015, 21:07

89Analysis98

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$\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to z-} x - [x] = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to z+} x - [x] = 0 \end{eqnarray*}$ ,

also hat f(x) bei z eine Sprungstelle.

Richtig?

15.11.2015, 16:10

HAL 9000

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Ja, ist korrekt. Freude

18.11.2015, 02:11

89Analysis98

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Danke

Beim zweiten Teil der Aufgabe muss man eine stetige Fortsetzung von f auf $\begin{eqnarray*} [0,1) \cup [2,3) \end{eqnarray*}$ angeben..reicht es dann also, wenn ich f(0)=0 und f(2)=1 definiere?

18.11.2015, 07:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von 89Analysis98
Beim zweiten Teil der Aufgabe muss man eine stetige Fortsetzung von f auf $\begin{eqnarray*} [0,1) \cup [2,3) \end{eqnarray*}$ angeben

Das klingt aber ganz übel verstümmelt im Vergleich zu dem, was du oben noch geschrieben hattest:

Zitat:

Original von 89Analysis98
Weiters betrachte man die Einschränkung $\begin{eqnarray*} f|_{[0,1) \cup [2,3)} \end{eqnarray*}$ von f auf $\begin{eqnarray*} [0,1) \cup [2,3) \end{eqnarray*}$ und gebe irgendeine Fortsetzung davon zu einer stetigen Funktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ an!

18.11.2015, 11:21

89Analysis98

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f(x)= 0, falls $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$ ,
1, falls $\begin{eqnarray*} x \geq 3 \end{eqnarray*}$ .

Dann habe ich aber das Problem, dass die Funktion bei 2 den Wert 0 hat, bei 1 aber gegen 1 konvergiert. Ich könnte dort eine lineare Funktion definieren...

18.11.2015, 11:29

HAL 9000

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Geh doch erstmal Schritt für Schritt vor, d.h.:

Als erstes solltest du angeben, wie $\begin{align*} f\bigm|_{[0,1) \cup [2,3)} \end{align*}$ überhaupt aussieht.

In einem zweiten Schritt musst du das ganze wieder auf eine Funktion mit Definitionsbereich $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ erweitern, d.h., es sind Funktionswerte in den Intervallen $\begin{align*} (-\infty,0) \end{align*}$ , $\begin{align*} [1,2) \end{align*}$ und $\begin{align*} [3,\infty) \end{align*}$ derart zu ergänzen, dass die gesamte Funktion stetig wird.

P.S.: Und nenn die neu gebastelte Funktion nicht $\begin{align*} f \end{align*}$ - denn Symbol $\begin{align*} f \end{align*}$ ist durch die Ausgangsfunktion (siehe Aufgabenstellung) bereits "belegt".

18.11.2015, 13:32

89Analysis98

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$\begin{eqnarray*} f|_{[0,1) \cup [2,3)} = \end{eqnarray*}$

0 bei x=0

x - [x] bei 0<x<1

konvergiert gegen 1, wenn x gegen 1 konvergiert

0 bei x=2

x - [x] bei 2<x<3

konvergiert gegen 1, wenn x gegen 3 konvergiert

Deshalb hatte ich mir gedacht, dass man die neue Funktion g(x) als 0 wenn x<0 ist und 1 wenn x>3 ist definieren könnte. Das einzige, was mir Probleme bereitet, ist das Intervall [1,2)

18.11.2015, 14:42

HAL 9000

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Könnte man auch etwas geraffter schreiben:

$\begin{align*} f\bigm|_{[0,1)}(x) = \begin{cases} x & \;\mbox{für}\; x\in [0,1)\\ x-2 & \;\mbox{für}\; x\in [2,3)\end{cases} \end{align*}$

Deine bisherigen Ideen ergeben dann

$\begin{align*} g(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; x\in (-\infty,0)\\ x & \;\mbox{für}\; x\in [0,1)\\ x-2 & \;\mbox{für}\; x\in [2,3)\\ 1 & \;\mbox{für}\; x\in [3,\infty)\end{cases} \end{align*}$ .

Ja, ist Ok so. Nun hast du auch schon festgestellt $\begin{align*} g(1)=1 \end{align*}$ , und das musst du nun nur noch stetig mit $\begin{align*} g(2)=0 \end{align*}$ verbinden, und ja, lineare Funktion wäre da eine Möglichkeit. Wie sieht die dann aus?

18.11.2015, 14:50

89Analysis98

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y = -x+2

18.11.2015, 14:52

HAL 9000

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Ja - falls du das für $\begin{align*} x\in [1,2) \end{align*}$ so meinst.

P.S.: Im Interesse möglichst wenig aufgesplitteter Fälle hätte man auch

$\begin{align*} \tilde{g}(x) = \begin{cases} x & \;\mbox{für}\; x\in (-\infty,1)\\ 2-x & \;\mbox{für}\; x\in [1,2)\\ x-2 & \;\mbox{für}\; x\in [2,\infty) \end{cases} \end{align*}$

erweitern können. Augenzwinkern

18.11.2015, 15:50

89Analysis98

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Danke

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