Bekomme nur Wendestellen heraus? |
| 14.11.2015, 20:11 | ML | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Bekomme nur Wendestellen heraus? ich habe die Aufgabe f(x)=x^5-15x^3+5 und muss die Hoch-,Tief- und Wendepunkte berechnen... Mein Problem ist das ich 'nur Wendepunkte' bekomme, wenn ich das so ausrechne ,wie wir es in der Schule gemacht habe (Wir haben nur gelernt ,we man Hoch und Tiefpunkt berechnet) Meine Ideen: Ich hab als erstes ,wie in der Schule die 1.Ableitung gebildet. f'(x)=5x-45x^2 dann f'(x)=0 gesetzt 5x-45x^2=0 x(-45+5)=0 x1=0 x2=1/9 dann habe ich eine Tabelle gemacht ,um zu untersuchen wie der Vorzeichenwechel(VZW) stattfindet. x1=0 ist eine Minimalstelle und x2=1/9 eine MAximalstelle dann habe ich die ywerte ausgerechnet....und somit habe ich die Punkte P(0/5) und P(1/9/4,98) Was aufällt ist das beide Punkte ziemlich dicht beieinsnder liegen....Hab mal mir das in so einem Online Rechner/Graphen anzeigen lassen... und man konnte sehen dass beide Punkte die Wendestelle ist... |
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| 14.11.2015, 20:22 | Mi_cha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Schau dir nochmal deine erste Ableitung an. Beim ersten Summanden fehlt die Potenz. |
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| 14.11.2015, 20:57 | ML | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Stimmt, danke ! aber ich weß nicht mehr weiter f'(x)=0 5x^4-45x^2=0 Ausklammern der ? Aber ich bin mir da und beim nächsten Schritt nicht sicher.. |
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| 14.11.2015, 20:59 | Mi_cha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Klammere 5x^2 aus. Damit solltest du die möglichen Extremstellen herausbekommen. |
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| 15.11.2015, 10:31 | ML | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hab alles gemacht. Ich bekomme aber für die Wendestellen W(188.87|190) heraus... Wie weiß ich jetzt ob es noch Sattelpunkte oder mehr Wendestellen gibt? Ich hab ja auch am Anfang ,was ausgerechnet (Siehe Lösungsansatz) und da hatte ich ja zwei Punkte raus , einmal P(0|5) und P(0,1111|4.98)..Was ist damit ?? |
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| 15.11.2015, 10:47 | Mi_cha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
hm, poste mal deine zweite/drtte Ableitung und den Rechenweg für die Wendepunkte. Es gibt zwei Wendepunkte und einen Sattelpunkt. Der sattelpunkt liegt bei (0|5). Die anderen Werte stimmen nicht. |
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| 15.11.2015, 11:09 | ML | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Problem ist ich versteh nicht, wie man Wendepunkte und Sattelpunkte ausrechnet. Wir haben bis jetzt nur hoch und tiefpunkte berechnet. Und ganz am anfang (siehe Lösungsansatz) habe ich die zwei punkte mit der selben methode , wie in der schule gemacht. Da kam halt dann (0|5) und (0,111|4,98) raus. Und den anderen Punkt habe ich mit der 2. Und 3. Ableitung ausgerechnet. |
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| 15.11.2015, 11:24 | Mi_cha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
du hast richtig angesetzt, indem du berechnest. Damit erhält man mögliche Wendestellen. Zur Überprüfung muss dann noch gelten. Der Wert, der dort herauskommt, ist allerdings nicht die passende y-Koordinate des Wendepunktes. Bei einem Sattelpunkt muss gelten: und . Nun zur Rechnug. Du darfst hier nicht durch x teilen, denn auf diese Weise "verlierst" du eine mögliche Wendestelle. Vielmehr muss man hier wieder ausklammern. Daraus ergeben sich die möglichen Stellen . Setzt du nun und in die dritte Ableitung ein, siehst du, dass es sich um Wendestellen handelt. Zur Bestimmung des Wendepunktes, also der fehlenden y-Koordinate, berechnest du bzw. |
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| 15.11.2015, 11:32 | ML | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Dankeschön und x1 = 0 ist der Sattelpunkt ? Kann ich das jetzt mal komplett sauber und ordentlich ausrechnen...und du schaust ob es richtig ist. Ich meld mich dann so in einer halben Stunde. :3 |
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| 15.11.2015, 11:35 | Mi_cha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ja, bei x=0 ist ein Sattelpunkt. Rechen gerne noch mal alles nach, vma auch mit den Extremstellen. Ich schaue dann drüber. |
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| 15.11.2015, 12:15 | ML | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
So fertiig.... ich habe ja bei f''(x1)=f''(0) = 0 raus bei der Bestimmung der Extrema. Kann ich damit nichts anfangen ? Oder sagt mir die 0,das hier ein Wende- oder ein Sattelpunkt ist? |
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| 15.11.2015, 12:24 | Mi_cha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
zu den Extrema: du hast Hoch- und Tiefpunkt vertauscht. Wenn f''(x)>0, ist es ein Tiefpunkt; entsprechend f''(x)<0, ist es ein Hochpunkt. Die Werte stimmen sonst. zu den Wendepunkten: das sieht gut aus 
zu der Stelle x=0: hier sollte man bei den einzelnen Abschnitten erwähnen, dass es keine Extrem- und keine Wendestelle ist, sondern wegen eine Sattelstelle. Die Skizze stimmt allerdings nicht; so macht es zumindest den Eindruck 
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| 15.11.2015, 12:37 | ML | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok! Dankeschön für die große Hilfe 
Ein paar Fragen hätte ich da noch.. Wozu brauchte ich jetzt die 3.Abletung? ich habe ja bei f''(x1)=f''(0) = 0 raus bei der Bestimmung der Extrema. Kann ich damit nichts anfangen ? Oder sagt mir die 0,das hier ein Wende- oder ein Sattelpunkt ist? |
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| 15.11.2015, 12:42 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du meinst sicher x=0.
Und x=0 ist in der Tat auch eine Wendestelle, denn ein Sattelpunkt ist nichts anderes als ein Wendepunkt, nur eben ein ganz spezieller (mit waagerechter Tangente, also Steigung null). In der Bearbeitung von ML fehlen zudem noch die Nachweise zu f '''(x) ungleich null zur Bestätigung der drei WP. |
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| 15.11.2015, 12:43 | Mi_cha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
du musst mithilfe der dritten Ableitung feststellen, ob die möglichen Wendestellen tatsächlich Wendestellen sind. Dazu setzt du die ermittelten Werte in die dritte Ableitung ein. Also Wenn du bei der Bestimmung der Extrema bei der zweiten Ableitung Null erhältst, so wie hier bei x=0, handelt es sich nicht um eine Extremstelle. @Bjoern: so ist es, wird korrigiert
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| 15.11.2015, 12:46 | ML | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Super. Dankeschön ,habs verstanden
Also ,wenn die Wendestellen x ungleich 0 sind, sind es Wendestellen? Und was ist wenn es gleiich 0 ist ? |
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| 15.11.2015, 13:01 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Auch hier muss ich nochmal kurz intervenieren: Falls f '(xe)=0 und f ''(xe)=0, dann folgt daraus nicht automatisch, dass in x=xe kein Extrempunkt ist. Klassisches Gegenbeispiel ist f(x)=x^4. |
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| 15.11.2015, 13:40 | ML | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok., Ich geh nochmal durch. f'(x)=0 macht man um die Stellen mit waagerechter Tangente zu fiinden ,d.h. dort beträgt die Steigung 0 . Dann setzt man diese Stellen in f''(x) ein und schaut welche Ergebnisse man bekommt. Wenn das Ergebenis größer als 0 ist ,haben wir einen Tiefpunkt und wenn es kleiner ist ein Hochpunkt (Warum ist das so ??) Wenn ich aber 0 bekomme, dann habe ich eine Wendestelle. Das bedeutet ,dass ich weiterrechne und zwar F''(x)=0 <- und warum tut man das?? Dann bekomme ich Stellen ,wo die Steigung? (heißt f''(x)=0 die Steigung beträgt 0?? Dann versteh ich nicht den Sinn,weil wir beii f'(x)=0 schon die Stellen mit waagerechter Tangente ausgerechnet haben.Ah, nein ,wir berechnen die Wendestellen ,aber warum macht man das so?) 0 beträgt??. Dann setzen wir diese Wendetellen in die 3.Ableitung um zu schauen ob es wirklich Wendestellen sind. Wenn es die 3.Ableitung an der Stelle x ungleich 0 ist, dann haben wir eine Wendestelle und wenn es gleich 0 ist ,haben wir keine Wendestelle oder eine Sattelstelle?? 
Dann die dazugehörigen y-Werte ausrechnen.... Sorry ,wenn ich soviele Fragen stelle. Ich möchte es aber wirklich verstehen, warum man diese Formeln benutzt.. |
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| 15.11.2015, 14:41 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da Mi_cha gerade wohl Pause macht, antworte ich mal eben:
Wie kommst du darauf ? In x=0 können genau so Wendestellen liegen.
Weil die 2. Ableitung ein Maß für die Krümmung eines Graphen ist. Wenn z.B. f ''(x)<0 gilt, dann spricht man auch von einer Rechtskurve (Rechtskrümmung) und diese kann ja nur bei einem HP vorliegen. Entsprechendes gilt für f ''(x)>0 bzgl. der Linkskrümmung.
Kann sein, MUSS aber nicht. Siehe mein voriger Beitrag. Wenn f ''(x) beim Einsetzen der möglichen Extremstelle null wird, dann weißt du zunächst erst mal gar nichts darüber, ob hier ein HP,TP oder SP vorliegt. In diesem Fall versagt dieses Kriterium nämlich und von daher würde ich dir auch empfehlen, dich ebenso mal mit dem immer anwendbaren, so genannten Vorzeichenwechsel-Kriterium zu befassen.
Nein, denn auch hier versagt das Kriterium. Man kann an dieser Stelle nur konkrete Aussagen treffen, wenn die 3. Ableitung NICHT null wird. Auch hier gäbe es dann übrigens auch wieder die Möglichkeit, mit dem Vorzeichenwechselkriterium zu arbeiten (nur jetzt bzgl f ''). |
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| 15.11.2015, 15:09 | ML | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich versteh einfach niicht wie man bei der Rechnung weiß, ob es jetzt ein Sattel oder ein Wendepunkt ist....(Wobeii ich verstanden habe das ein Sattelpunkt auch ein Wendepunkt ist)... Ich hab jetzt mal die x-Werte die ich rausbekommen habe für F'''(x) eingesetzt und alle Werte sind unglech null.....Das sagt mir jetzt doch , dass ich tatsächlich 3 Wendestellen habe, aber wie weiß ich jetzt ,ob es Wende- oder Sattelpunkt ist? Und wenn es ungleich 0 ist ,weiß ich dass dort ein HP,TP,WP oder SP liegt, wenn das passiert muss man was machen?? -> VZW-Kriterium? Ich hatte ja dann sozusagen Glück das bei der 3. ABleitung nicht 0 rauskam? |
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| 15.11.2015, 15:21 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nur wenn zusätzlich auch noch f '(xw)=0 gilt, dann nennt man die Wendestelle auch Sattelstelle. In deinem Fall ist in x=0 halt ein WP wegen f '''(0) ungleich null. Da zusätzlich aber auch noch f '(0)=0 gilt, also die Steigung in x=0 null ist, liegt sogar ein spezieller WP vor, nämlich ein Sattelpunkt.
Das macht von vorne bis hinten so absolut gar keinen Sinn, was da steht. Überdenke das bitte nochmal und lies dir dein Geschriebenes VOR dem Abschicken nochmal genau durch. Einmal schnell eintippen und direkt absenden, das geht oft schief. Ist kein Wettrennen hier, dich hetzt niemand. 
Ja, wenn die 2. Ableitung bei der Extrempunktuntersuchung oder auch die 3. Ableitung bei der Wendepunktuntersuchung ungleich null wird, dann hast du Glück. Wenn das mal nicht der Fall ist, dann muss man eben zu anderen Mitteln greifen (wie z.B. das angesprochende Vorzeichenwechselkriterium). |
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