Produktmannigfaltigkeit

15.11.2015, 15:35	Ronan	Auf diesen Beitrag antworten »
Produktmannigfaltigkeit Seien $\begin{eqnarray} M_1 \subseteq \mathbb{R}^{p_1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} M_2 \subseteq \mathbb{R}^{p_2} \end{eqnarray}$ Mannigfaltigkeiten der Dimension $\begin{eqnarray} d_1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} d_2 \end{eqnarray}$ . Man zeige, dass $\begin{eqnarray} M_1 \times M_2 \subseteq \mathbb{R}^{p_1} \times \mathbb{R}^{p_2} \end{eqnarray}$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $\begin{eqnarray} d_1 + d_2 \end{eqnarray}$ ist. Zeigen Sie auch, dass wenn $\begin{eqnarray} M_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M_2 \end{eqnarray}$ implizit definierte Mannigfaltigkeiten sind, dann auch $\begin{eqnarray} M_1 \times M_2 \end{eqnarray}$ implizit definiert ist. Meine Ideen: Sei $\begin{eqnarray} x \in M_1 \times M_2 \Rightarrow x_1 \in M_1 , x_2 \in M_2 \Rightarrow \exists \phi_1 : D_1 \to M_1 : x_1 \in \phi_1 (D_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \exists \phi_2 : D_2 \to M_2 : x_2 \in \phi_2 (D_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha = \phi_1 \times \phi_2 : D_1 \times D_2 \to M_1 \times M_2 \subseteq \mathbb{R}^{p_1 + p_2 } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha ( x_1 , x_2 ) := ( \phi ( x_1 ) , \phi ( x_2 ) ) \end{eqnarray}$
17.11.2015, 23:23	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das passt nicht ganz. Erstmal: $\begin{eqnarray} D_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D_2 \end{eqnarray}$ sind offene Teilmengen von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{d_1} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \mathbb R^{d_2} \end{eqnarray}$ , oder? Du schreibst, der Definitionsbereich von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} D_1\times D_2 \end{eqnarray}$ ; danach steht da aber $\begin{eqnarray} \alpha(x_1,x_2):=... \end{eqnarray}$ . Das kann so nicht funktionieren, weil $\begin{eqnarray} (x_1,x_2)\in M_1\times M_2 \end{eqnarray}$ . Ich denke, das Problem ist folgendes: Bei Karten wählt man als Definitionsbereich immer eine offene Teilmenge der Mannigfaltigkeit und als Wertebereich eine offene Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R^d \end{eqnarray}$ . Du hast das bei $\begin{eqnarray} \phi_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi_2 \end{eqnarray}$ genau andersrum gemacht (würde theoretisch auch gehen; die erstere Version hat sich aber "eingebürgert"). Außerdem bilden doch Karten immer nur lokal Umgebungen auf offene Mengen von $\begin{eqnarray} \mathbb R^d \end{eqnarray}$ ab. Du hast in deinen Karten $\begin{eqnarray} \phi_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi_2 \end{eqnarray}$ immer die ganze Mannigfaltigkeit stehen. Sauber aufgeschrieben würde das etwa so aussehen: Sei $\begin{eqnarray} x=(x_1,x_2)\in M_1\times M_2 \end{eqnarray}$ . Dann gibt es Karten $\begin{eqnarray} \phi_i:U_i\to V_i\quad (i=1,2) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} U_i\subseteq M_i, V_i\subseteq\mathbb R^{d_i} \end{eqnarray}$ offene Mengen sind, mit $\begin{eqnarray} x_i\in M_i \end{eqnarray}$ . Dann sind auch $\begin{eqnarray} U_1\times U_2\subseteq M_1\times M_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V_1\times V_2\subseteq \mathbb R^{d_1+d_2} \end{eqnarray}$ offene Mengen; und $\begin{eqnarray} \phi_1\times \phi_2: U_1\times U_2\to V_1\times V_2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (\phi_1\times \phi_2)(y_1,y_2):=(\phi_1(y_1),\phi_2(y_2)) \end{eqnarray}$ ist ein Homöomorphismus zwischen einer offenen Umgebung von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und einer offenen Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{d_1+d_2} \end{eqnarray}$ . Auf diese Weise kann man die ganze Menge $\begin{eqnarray} M_1\times M_2 \end{eqnarray}$ mit Karten überdecken. Kürzer könnte man auch schreiben: Ist $\begin{eqnarray} \{\phi_i: U_i\to V_i \mid i\in I\} \end{eqnarray}$ ein Atlas auf $\begin{eqnarray} M_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \{\tilde{\phi}_j: \tilde{U}_j\to \tilde{V}_j \mid j\in J\} \end{eqnarray}$ ein Atlas auf $\begin{eqnarray} M_2 \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ sind beliebige Indexmengen), dann ist $\begin{eqnarray} \{\phi_i\times \tilde{\phi}_j: U_i\times \tilde{U_j}\to V_i\times \tilde{V}_j\mid (i,j)\in I\times J\} \end{eqnarray}$ ein Atlas auf $\begin{eqnarray} M_1\times M_2 \end{eqnarray}$ . Eine Frage noch: Was sind denn implizit definierte Manngfaltigkeiten?

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