Beweise Untervektorraum

15.11.2015, 16:11

mabc

Beweise Untervektorraum

Meine Frage:
Sei K ein Körper. Es darf verwendet werden, dass K[x] ein
K-Vektorraum ist.
(a) Sei $\begin{eqnarray*} t \in \end{eqnarray*}$ K und bezeichne mit $\begin{eqnarray*} Vt \subseteq K[x] \end{eqnarray*}$ die Menge aller Polynome, die bei t eine
Nullstelle haben. Beweise, dass Vt ein Untervektorraum von K[x] ist.
(b) Sei nun K = R und betrachte die Menge $\begin{eqnarray*} V \subseteq R[x] \end{eqnarray*}$ aller Polynome welche bei $\begin{eqnarray*} i \in \end{eqnarray*}$ C eine komplexe Nullstelle haben. Ist V ein Untervektorraum von R[x]?

Meine Ideen:
Ich weiß, dass die Bedingungen für einen Untervektorraum folgende sind:
- $\begin{eqnarray*} U\neq 0 \end{eqnarray*}$
-Abgeschlossenheit bzgl Vektoraddition $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \in V_{t} \end{eqnarray*}$

-Abgeschlossenheit bzgl Skalarmultiplikation $\begin{eqnarray*} a \otimes \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \in V_{t} \end{eqnarray*}$

15.11.2015, 18:23

Elvis

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Was heißt das jetzt für Polynome ?

Gibt es ein Polynom, das bei t eine Nullstelle hat ?
Wenn p und q bei t eine Nullstelle haben, hat dann auch p+q bei t eine Nullstelle ?
Wenn p bei t eine Nullstelle hat, hat dann auch a*p bei t eine Nullstelle für alle a aus K ?

Gibt es ein reelles Polynom, das bei i eine Nullstelle hat ?
Wenn p und q bei i eine Nullstelle haben, hat dann auch p+q bei i eine Nullstelle ?
Wenn p bei i eine Nullstelle hat, hat dann auch a*p bei i eine Nullstelle für alle a aus R ?

15.11.2015, 18:38

mabc

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Zitat:

Original von Elvis
Was heißt das jetzt für Polynome ?

Gibt es ein Polynom, das bei t eine Nullstelle hat ?
Wenn p und q bei t eine Nullstelle haben, hat dann auch p+q bei t eine Nullstelle ?
Wenn p bei t eine Nullstelle hat, hat dann auch a*p bei t eine Nullstelle für alle a aus K ?

Ich könnte also einfach schreiben: p(t)=0 für alle x aus K

Es gilt: $\begin{eqnarray*} p(t)=q(t)=0 => (p+q)(t)=0 \end{eqnarray*}$

Das reicht doch aber nicht als Beweis oder?

Für die Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation:

$\begin{eqnarray*} p\in Vt , s\in K => s*p\in Vt \end{eqnarray*}$

Ich habe keine Ahnung wie ich das beweisen soll?!?!

15.11.2015, 19:41

Elvis

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Nicht für alle t aus K. In der Aufgabe wird ein beliebiges t aus K fest gewählt. Darauf beziehen sich die 3 Fragen aus dem UVR-Kriterium.
Ein richtiger Beweis für die additive Abgeschlossenheit ist $\begin{eqnarray*} p(t)=q(t)=0\Rightarrow (p+q)(t)=p(t)+q(t)=0+0=0 \end{eqnarray*}$ ... ja, das Leben kann so einfach sein. Augenzwinkern

Das Nullpolynom ist selbstverständlich ein UVR, denn das gilt IMMER für den Nullvektor.

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