Fortsetzung von Einbettungen (Mannigfaltigkeit)

15.11.2015, 19:13	Ronan	Auf diesen Beitrag antworten »
Fortsetzung von Einbettungen (Mannigfaltigkeit) Die Aufgabe: Man betrachte die 1-dimensionale Mannigfaltigkeit $\begin{eqnarray} M = S^1 = \{ (x,y)^T \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1 \} \end{eqnarray}$ , und die Einbettung $\begin{eqnarray} \phi: D \to S^1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} D = (0, 2 \pi ) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi (t) = (cos(t) , sin(t) )^T \end{eqnarray}$ . Nun sei $\begin{eqnarray} x = (0,1)^T \in M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s = \frac{ \pi }{2} \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \phi (s) = x \end{eqnarray}$ . Ist zudem $\begin{eqnarray} w_1 := w := (0,1)^T \end{eqnarray}$ , so zeige man, dass $\begin{eqnarray} w_1 \end{eqnarray}$ die Voraussetzungen von Satz 14.5.1 erfüllt, dh. $\begin{eqnarray} w_1 \notin d \phi (s) ( \mathbb{R} ) \end{eqnarray}$ . Man gebe ein offenes, symmetrisches Intervall B um die Null, ein offenes Intervall $\begin{eqnarray} C \subseteq D \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} s \in C \end{eqnarray}$ und ein offenes $\begin{eqnarray} V \subseteq \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ an, sodass die Abbildung $\begin{eqnarray} \psi : B \times C \to V, \psi ((x, t)^T ) = xw + \phi (t) \end{eqnarray}$ ein Diffeomorphismus ist; $\begin{eqnarray} \phi (C) = V \cap M \end{eqnarray}$ muss also nicht erfullt sein. Dabei soll $\begin{eqnarray} B \times C \end{eqnarray}$ maximal in dem Sinne sein, dass wenn man B oder C größer macht, die Injektivität verloren geht. Schließlich gebe man irgendeine Wahl von offenen $\begin{eqnarray} B, C, V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} s \in C, 0 \in B \end{eqnarray}$ , sodass auch $\begin{eqnarray} \phi (C) = V \cap M \end{eqnarray}$ erfullt ist, an. Bedingungen vom Satz 14.5.1: Sei $\begin{eqnarray} Q \subseteq \mathbb{R}^p \end{eqnarray}$ offen, $\begin{eqnarray} M \subseteq \mathbb{R}^p, x \in M \cap Q \end{eqnarray}$ und für 0<d<p sei $\begin{eqnarray} \phi: D \to M \end{eqnarray}$ eine d-dimensionale Einbettung mit offenen $\begin{eqnarray} D \subseteq \mathbb{R}^d \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x = \phi (s) \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} s \in D \end{eqnarray}$ . Weiters seien $\begin{eqnarray} w_1 , \dots , w_{p-d} \in \mathbb{R}^p \end{eqnarray}$ , sodass diese Vektoren zusammen mit dem Bildraum $\begin{eqnarray} d \phi (s) \mathbb{R}^d \end{eqnarray}$ der linearen Abbildung $\begin{eqnarray} d \phi (s) \in L ( \mathbb{R}^d , \mathbb{R}^d ) \end{eqnarray}$ den ganzen $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^p \end{eqnarray}$ aufspannen. Meine Ideen: 1) $\begin{eqnarray} \phi : D \to M \end{eqnarray}$ ist eine 1-dim. Einbettung, da M eine Mannigfaltigkeit ist (reicht das als Begründung?) $\begin{eqnarray} d \phi (t) = (-sin(t) , cos(t) )^T \end{eqnarray}$ span $\begin{eqnarray} \{ (0,1)^T \end{eqnarray}$ mit dem Bildraum $\begin{eqnarray} d \phi (s) \} = \end{eqnarray}$ span $\begin{eqnarray} \{ (0,1)^T , (-1, 0)^T \} = \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ Also sind die Bedingungen des Satzes erfüllt. 2) $\begin{eqnarray} B = \mathbb{R}^+ , C = (0 , \pi ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \psi: \mathbb{R}^+ \times (0, \pi ) \to V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x,t)^T \mapsto \phi (t) + r (0,1)^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V = M \backslash \{ (1,0)^T , (-1,0)^T \} \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} B= ( - \epsilon, \epsilon ), C = U_{\delta} ( \frac{\pi}{2} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} sin ( \alpha ) > \frac{ \epsilon}{2} \forall \alpha \in C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray*}$ dann passend dazu wählen

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