Homomorphismus Basis

16.11.2015, 06:18	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
Homomorphismus Basis Bildet ein Vektorraum-Homomorphismus eigentlich immer eine Basis auf eine Basis ab und wenn ja, wie kann ich das beweisen? Vielen Dank im Vorraus
16.11.2015, 07:01	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, schau dir für zwei Vektorräume $\begin{eqnarray} V,W \end{eqnarray}$ mal die Nullabbildung von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ an. Überlege dir unter welchen Bedingungen das Bild dort eine Basis von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ ist.
16.11.2015, 07:07	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Bild ist eine Basis von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ , sollte das Bild lin. unabh. sein und sich der Nullvektor nur trivial bilden lassen
16.11.2015, 07:19	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm dir doch mal ein konkretes Beispiel her. Zum Beispiel $\begin{eqnarray} V = W = \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ , diesen Vektorraum kennst du doch bestimmt schon. Jetzt nimm dir als Basis die Standardbasis bestehend aus $\begin{eqnarray} (1,0),(0,1) \end{eqnarray}$ . Was ist jetzt das Bild dieser Basis unter der Nullabbildung ganz explizit?
16.11.2015, 07:26	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
das Bild wäre $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} (1, 0) 0 + (0, 1) * 0 \end{eqnarray*}$
16.11.2015, 07:27	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, das Bild besteht nur aus dem Vektor $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ . Ist dieser nun eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ?
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16.11.2015, 07:37	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ ist keine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} ^2 \end{eqnarray}$ Das ist mir schon kar, ich wollte aber wissen, wenn ich die Elemente einer Basis abbilde, ob das Bild dann auch eine Basis ist für $\begin{eqnarray} f \in Hom<V,W> \end{eqnarray}$
16.11.2015, 07:44	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Und du hast dir gerade ein Gegenbeispiel überlegt. Siehst du das nicht?
16.11.2015, 07:53	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok jetzt sehe ich es. Aber was gilt für andere Abbildungen
16.11.2015, 08:02	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt natürlich auch Homomorphismen, die Basen auf Basen abbilden. Du könntest zum Beispiel zeigen, dass ein injektiver Homomorphismus linear unabhängige Vektoren auf linear unabhängige Vektoren abbildet. Die müssen dann aber natürlich noch lange kein Erzeugendensystem bilden.
16.11.2015, 08:07	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie würde ich das zeigen?
16.11.2015, 08:11	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke mal, der endlichdimensionale Fall wird erstmal vollends ausreichen. Nimm dir linear unabhängige Vektoren $\begin{eqnarray} v_1,...,v_n \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und betrachte die Bilder. Was wäre nun, wenn die nicht linear unabhängig wären?
16.11.2015, 08:40	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ahnung
16.11.2015, 09:20	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann schlag die Definition von linear abhängig nach. Ich bin jetzt erstmal weg. Vielleicht kann dir in der Zwischenzeit jemand anderes weiterhelfen. Die Aufgabe ist aber nicht wirklich schwer. Mit etwas Nachdenken solltest du darauf kommen. Wenn du die Definitionen nicht kennst, geht es natürlich nicht.

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