Untergruppen, Faktorgruppen und zyklische Gruppen

16.11.2015, 11:49	checkmathenicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppen, Faktorgruppen und zyklische Gruppen Meine Frage: Ich soll gerade folgende Aufgabe bearbeiten, stehe allerdings total auf dem Schlauch. Man bestimme alle Untergruppen von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/_n\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Man zeige, dass alle Unter- und Faktorgruppen zyklicher Gruppen ebenfalls zyklisch sind. Meine Ideen: Als erstes habe ich mir die Definitionen aufgeschrieben -Eine Gruppe ist zyklisch genau dann, wenn es ein element gibt durch dessen Potenzjedes element in der Gruppe gebildet werden kann. -Eine Gruppe U ist dann Untergruppe von G, wenn die elemente von U Teilmenge der Elemente aus G sind un U ebenfalls eine Gruppe ist. -Faktorgruppen habe ich leider noch nicht ganz verstanden, da ich auch den Normalteiler noch nicht ganz durchschaue. Ich stelle die Annahme voraus, dass es sich um additive Gruppen handelt. Aus dem Bauch raus würde ich jetzt behaupten, dass jede Gruppe über $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Untergruppe von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ist, allerdings wüsste ichh nicht wie ich das formal aufschreiben soll.
16.11.2015, 12:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du gerade eben erst mit Gruppentheorie angefangen hast, ist diese Aufgabe recht anspruchsvoll. Im Buch "Algebra" von Siegfried Bosch entspricht das den ersten 3 Paragraphen. Diese musst Du (mindestens eine Woche lang) studieren, dann hast Du die Antworten (vielleicht) verstanden. Bauch irrt : es gibt keine "Gruppen über $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ " .

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