Unitäre Matrix finden, so dass S^-1AS = Diag

16.11.2015, 15:18	mathebanause	Auf diesen Beitrag antworten »
*Unitäre Matrix finden, so dass S^-1AS = Diag* Hallo zusammen, ich bräuchte ein wenig Hilfe bei der unten angefügten Aufgabe bei i) habe ich folgendes gemacht: A hermitesch wenn $\begin{eqnarray} A = \overline{A}^T = \overline{A^T} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \overline{A} = \begin{pmatrix} 1 & -2i \\ 2i & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overline{A}^T = \begin{pmatrix} 1 & 2i \\ -2i & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ somit ist A hermetisch bei ii) $\begin{eqnarray} det\begin{pmatrix} 1-z & 2i \\ -2i & 1-z \end{pmatrix} = 0<br /> <br /> z^2 -2z -3 = 0<br /> <br /> z_{1,2} = -\frac{-2}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{(-2)^2 - 4 (-3)} = 1\pm 2 \end{eqnarray}$ Eigenwerte sind also 3 und -1 die Eigenvektoren habe ich als zu 3 als (i, 1) und zu -1 als (-i, 1) bestimmt. bei iii) weiss ich folgendes: S ist unitär wenn gilt: $\begin{eqnarray} S* \overline{S}^T = Id_n \end{eqnarray}$ und wenn $\begin{eqnarray} S^{-1}AS = Id_nA = Diag \end{eqnarray}$ hier komme ich jedoch nun nicht mehr weiter.. kann mir jemand auf die Sprünge helfen, ich wäre euch sehr dankbar! Vielen Dank [attach]39771[/attach] das selber Problem habe ich nun auch noch bei der nächsten Aufgabe da ist die gegebene hermitesche Matrix = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & i & 1 \\ -i & 2 & -i \\ 1 & i & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ich habe 1, 1, 4 als Eigenwerte ermittelt und (i, 1, 0) (-1, 0, 1) (1, -i, 1) als zugehörige Eigenvektoren ich habe irgendwo gelesen, dass ich für S die Eigenvektoren und für die Diagonalenmatrix die Eigenwerte einsetzen kann, jedoch funktioniert das nicht so ganz mit beiden Aufgaben.. Wäre sehr froh um Tipps liebe Grüsse Mathebanause Zwei Beiträge zusammengefasst, damit Antwortzähler auf Null steht. Steffen
16.11.2015, 22:26	mathebanause	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Unitäre Matrix finden, so dass S^-1AS = Diag* bei der ersten Aufgabe habe ich eine Lösung gefunden, jedoch ist S nicht unitär! wie finde ich die unitäre Lösung? ich habe bisher folgendes gemacht: für S habe ich die Spalten mit den Eigenvektoren gefüllt und die Diagonalenmatrix ist mit den Eigenwerten versehen. das sieht dann so aus: $\begin{eqnarray} A = SDS^{-1} = \begin{pmatrix} i & -i \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -i/2 & 1/2 \\ i/2 & 1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das geht auf jedoch ist sie nicht unitär.. wie muss ich da vorgehen? bitte gebt mir einen Hinweis, ich bin schon seit Stunden dran..
16.11.2015, 22:38	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch es mal mit anderen Eigenvektoren. Es gibt ja nicht nur die von Dir berechneten.
17.11.2015, 14:00	mathebanause	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es mit vielen anderen Eigenvektoren probiert, aber nur ausprobieren kann ja nicht die Lösung sein.. ich komme einfach nicht drauf..
17.11.2015, 14:05	mathebanause	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe es mit vielen probiert jedoch habe ich dann als Produkt von S und seiner adjungierten Matrix jeweils wenn überhaupt nur ein vielfaches der Einheitsmatrix erhalten
17.11.2015, 18:41	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Tip: Der Betrag der Determinante einer unitären Matrix ist 1.
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