Komplexe Betragsungleichungen

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vogs Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Betragsungleichungen
Ich habe so meine liebe Not mit den Gleichungen/Ungleichungen in Verbindung mit komplexen Zahlen.

Die Teilmengen von bestimmen und skizzieren, welche die folgende Ungleichung erfüllt.


Ich hab gesetzt:


Dann hätte ich den Betrag der komplexen Zahl links gebildet:


Dann quadriert:


Jetzt stehe ich an. Ich kann jetzt ausmultiplizieren usw. aber wie komme ich zur Lösung des ganzen? Mir ist hier leider auch nicht ganz klar, was wirklich gesucht ist bzw. die Lösung ist.

Wäre für Hilfe sehr dankbar!
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Betragsungleichungen
Die Gleichung x²+y²=1 ist zum Beispiel eine typische Kreisgleichung, das heißt, das alle Wertepaare x,y auf einem Kreis um den Ursprung mit Radius 1 liegen.

Soll der Kreis einen größeren Radius haben, z.B. 42, gilt x²+y²=42².

Und wenn der Kreis verschoben sein soll, z.B. um 1 nach rechts und 2 nach unten, gilt (x-1)²+(y+2)²=42².

Wenn nicht nur die Kreislinie selbst, sondern die gesamte Kreisscheibe enthalten sein soll, nimmt man eine Ungleichung: (x-1)²+(y+2)²<=42².

Kommst Du jetzt schon weiter?

Viele Grüße
Steffen
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist der Kreis in meinem Beispiel ein verschobener und vergrößerter Kreis (im Vergleich zum Einheitskreis).
Dann müsste ich mir die jeweils die beiden Grenzen in Richtung der x-Achse (Realteil) und y-Achse (Imaginärteil) berechnen. Mit = 0 setzten komme ich da ja nicht weiter, da die Grenzen in diesem Fall nicht die Schnittpunkte mit der jeweiligen Achse sind (da der Kreis verschoben ist) oder?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Multipliziere Deine letzte Ungleichung doch mal auf beiden Seiten mit 9.
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich schon gemacht, dann hab ich dort stehen oder

Irgendwie steh ich noch immer auf dem Schlauch unglücklich
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich könnte dann ja mit der Lösungsformel y1,2 ausrechnen und bekomme was ja gleich sein sollte. Dann wäre ja die Lösungsmenge für den Realteil . Stimmt das? Kann man das überhaupt so anschreiben?

Dann brauch ich aber noch eine Lösung für den Realteil!?
 
 
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann fangen wir weiter oben an.









HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler

Genau genommen kann man hier schon innehalten, wenn man bedenkt, was der Betrag einer komplexen Zahl geometrisch bedeutet:

Es geht um alle komplexen Zahlen , deren Abstand von der Zahl in der Gaußschen Ebene kleiner oder gleich 6 ist...


Natürlich kann man diese Gaußsche Ebene via mit der -Ebene identifizieren, und erstmal dort diesen Kreis betrachten. Augenzwinkern
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das hab ich in dem Moment auch auf meinem Zettel stehen.
Nur weiß ich leider nicht wirklich, was ich damit nun anfangen soll. Ja, es ist eine Kreisgleichung die verschoben ist.
Evtl. ist auch das größere Problem, dass ich das Ziel nicht wirklich vor Augen habe.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ziel ist einfach nur eine Skizze eines Kreises! Welchen Radius und Mittelpunkt hat der? Lies noch mal meinen ersten Beitrag!
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Gut ja, die Skizze ist ja somit kein Problem, Danke! Radius 36 und um 3 nach oben verschoben. Ich muss jedoch auch die Teilmengen in C bestimmen, die die folgenden Ungleichungen erfüllen.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Der Radius stimmt noch nicht. Und die Teilmengen bestimmen, nun ja... Du könntest sinngemäß schreiben: "die Menge aller komplexen Zahlen z mit ..."
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Achja, sorry. Radius ist 6.

Ok, jedoch muss ich ja irgendwie auf ein Lösungsintervall für Re(z) und Im(z) kommen oder?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, Intervalle gibt's hier eben nicht. Das wäre ja dann ein Rechteck und kein Kreis! Die (wie auch immer) angegebene Kreisgleichung ist die Bedingung für z.
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok. Jedoch muss es doch irgend eine Form geben, um eben die gefragten Teilmengen mathematisch zu beschreiben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich für meinen Teil betrachte bereits als an Klarheit kaum zu überbietende Beschreibung der Menge

[attach]39779[/attach]

Aber natürlich kann man auch anderer Ansicht sein. Augenzwinkern
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wie gesagt:



oder



Das Ziel dieser Aufgabe ist eher, zu lernen, dass diese Teilmenge das Innere eines Kreises ist.
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!

Leider muss ich mit noch 2 Beispielen nerven, wo mir etwas der Ansatz und der Blick fürs Ziel fehlen.



Wenn ich hier wieder für z=x+iy ersetze komme ich auf:

Dann könnte ich weiter auf y auflösen:


Wenn ich die ursprüngliche Funktion bei Wolframalpha eingebe, kommen 2 Geraden jeweils im 1. und 2. Quadraten mit Steigung -1 bzw. 1. Hier hab ich ja eine quadratische Fkt.

Darf ich für Im(z) überhaupt direkt y schreiben? Was wäre, wenn z.B. Re(iz) stehen würde.

ist mein nächstes Problemkind. Soll ich da auch mit x-iy bzw. x+iy ersetzen? Oder

bzw. ersetzen.

PS: @HAL 9000 in welchem Prog hast du diesen Kreis gezeichnet?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vogs
Wenn ich die ursprüngliche Funktion bei Wolframalpha eingebe, kommen 2 Geraden jeweils im 1. und 2. Quadraten mit Steigung -1 bzw. 1.

Verstehe nicht, was du damit meinst.

Zitat:
Original von vogs
Hier hab ich ja eine quadratische Fkt.

Richtig, allerdings hast du dich verrechnet. Richtig umgeformt kommt man auf , d.h., die Punkte unterhalb (exklusive) der Parabel lösen die Ungleichung.

Zitat:
Original von vogs
Darf ich für Im(z) überhaupt direkt y schreiben? Was wäre, wenn z.B. Re(iz) stehen würde.

Für gilt



.


P.S.: Das verwendete Programm ist Euklid Dynageo - eher was für Geometrie, aber darum ging es ja hier auch im weiteren Sinne. Augenzwinkern
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok danke alles klar!
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