Folgerung aus Summe

16.11.2015, 23:24

TM2

Folgerung aus Summe

Meine Frage:
Hey,

ich hätte folgende Frage:

Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb N \to \left[0, \infty \right) \end{eqnarray*}$ eine Funktion.
Weiter gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{f(k)}{n} \left(1 -\frac{k}{n} \right) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Kann man hieraus nun folgern, dass $\begin{eqnarray*} f(k) \equiv 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k = 1,2,3, ... \end{eqnarray*}$ ?

Ich bedanke mich schon einmal für eure Hilfe!

Meine Ideen:
Die einzelnen Summanden sind nicht negativ, da $\begin{eqnarray*} \frac{f(k)}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(1 -\frac{k}{n} \right) \end{eqnarray*}$ größer gleich Null sind.
Da die Summe aber insgesamt den Wert Null hat, müssen die einzelnen Summanden schon Null sein.
Da nun aber $\begin{eqnarray*} \left(1 -\frac{k}{n} \right) \end{eqnarray*}$ von Null verschieden ist, muss $\begin{eqnarray*} \frac{f(k)}{n} \end{eqnarray*}$ gleich Null sein, also $\begin{eqnarray*} f(k) \end{eqnarray*}$ ist Null.

Was sagt ihr dazu?

17.11.2015, 00:00

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folgerung aus Summe
Ich würde sagen, eher nicht smile

Zitat:

Da die Summe aber insgesamt den Wert Null hat

ist eine falsche Schlussfolgerung. Dort steht nur, der Grenzwert eines von n abhängigen Ausdrucks ist Null. Im Gegensatz zu den Summen, mit denen man oft zu tun hat, hängt hier nicht nur die obere Summationsgrenze von n ab sondern auch jeder Summand.

Dein Vermutung, es würde f(k)=0 für alle k folgen, lässt sich anhand eines Gegenbeispiels widerlegen.

17.11.2015, 00:06

TM2

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folgerung aus Summe
Ich danke dir für deine Antwort Wink

dachte mir schon, dass ich hier wieder irgendetwas falsch mache..

Neue Frage »

Antworten »

Folgerung aus Summe

Verwandte Themen