Ebenen in der Geometrie

17.11.2015, 18:53

misterxy

Ebenen in der Geometrie

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe mal eine Frage zu Ebenenscharen.
Eigentlich 2 bzw. 3.

1. Ich soll sagen, wie die Ebenenschar Ea: 3x2 = a im Koordinatensystem liegt.
Ich habe mir erstmal den Normalenvektor (0/3/0) gebildet und ihn eingezeichnet, dann sieht man, das der quasi senkrecht auf der x1x3-Ebene steht und somit die Ebenenschar Ea parallel dazu sein muss.

Meine Ideen:
Irgendwie verstehe ich das aber noch nicht so ganz. Sagt mir das = a etwas aus? Was für einen Unterschied hatte es, wenn a = 4 oder a=2 wäre?

Kann ich mir das noch anders erklären (ohne Zeichnung?)
Wenn ich in die Ebenengleichung Punkte etc. einsetzen würde, könnte ich für x1 und x3 ja nichts einsetzen, x1 und x3 müssten also immer 0 sein. Aber dann hätte ich doch keine Eben, sondern eine Gerade, oder?

Danke... smile

17.11.2015, 19:43

sixty-four

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RE: Ebenen in der Geometrie
Du meinst vermutlich die Ebenenschar $\begin{eqnarray*} 3x_2 = a \end{eqnarray*}$

Wenn in einer Ebenengleichung $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ nicht vorkommen, bedeutet das nicht, dass diese immer 0 sind, sondern dass die Ebenengleichung unabhängig von diesen beiden Koordinaten ist. Wenn du also irgendwo in der $\begin{eqnarray*} x_1 - x_3 \text{- Ebene} \end{eqnarray*}$ bist, hast du für einen bestimmten Wert von a immer dieselbe $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ -Koordinate.
Jetzt kannst du dir (auch ohne Zeichnung) überlegen, was das bedeutet.

Durch deine Überlegung mit dem Normalenvektor bist du ja auch schon zum richtigen Ergebnis gekommen.

17.11.2015, 19:51

misterxy

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Ohje.. Steh gerade auf dem Schlauch.

Irgendwie verstehe ich das nicht so ganz, dass meine Punkte auch x1 und x2 Koordinaten haben können. Ich müsste die doch in die Ebenengleichung einsetzen können.... Das kann ich doch bei dieser gar nicht?

Das hat bestimmt was mit dem Abstand zu tun.

Also ich befinde mich entweder in der x1x3 - Ebene (könnte die das auch sein?) oder in einer dazu parallelen.
Ein Punkt in dieser beliebigen Ebenen (sagen wir mal, sie geht durch P(0/3/0)) ... Ne, weiß ich irgendwie gerade nicht so wirklich... unglücklich

17.11.2015, 20:05

sixty-four

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Zitat:

Original von misterxy

Irgendwie verstehe ich das nicht so ganz, dass meine Punkte auch x1 und x2 Koordinaten haben können. Ich müsste die doch in die Ebenengleichung einsetzen können.... Das kann ich doch bei dieser gar nicht?

Das besagt nur, dass die Ebenengleichung eben nicht von diesen beiden Koordinaten abhängig ist. Egal, welche Werte du für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ wählst, für einen Ebenenpunkt ergibt sich immer der gleiche Wert für $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und das bedeutet natürlich, dass eine Ebene der Schar parallel zur $\begin{eqnarray*} x_1, x_3 \end{eqnarray*}$ -Ebene sein muss. Anders gesagt: Der Abstand (für festes a) der Ebene von der $\begin{eqnarray*} x_1, x_3 \end{eqnarray*}$ -Ebene ist immer konstant.

Beispiel aus der Ebene: Die Funktion y=5 hängt nicht von x ab. Das heißt: Für x=0 ist der Funktionswert 5, für x=-10 ist er ebenfalls 5 und für x=2/3 auch. Egal welchen Wert von x du nimmst, der Funktionswert ist immer 5.

Genauso ist's auch in deinem Fall.

17.11.2015, 20:13

misterxy

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Ok... Das habe ich verstanden. Glaub ich.

3x2 = a

Aber das sagt mir doch eigentlich nur, das mein Abstand von der x1x3 Ebene a/3 ist, oder?
Weil, kann ich nicht erklären. Es geht ja nicht darum, was ich für x2 einsetze, dann würde ich das verstehen. Mein Punkt hat an der x2-Koordinate den Wert 4 --> a/12 ist der Abstand. Mein Punkt hat an der x2-Kkordinate den WErt 3 -->a/9 ist der Abstand. Ok, vestehe ich doch nicht...

Oh man, tut mir voll leid... unglücklich

17.11.2015, 20:18

misterxy

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Vielleicht habe ich da noch ein grundlegendes Problem. WAs bedeutet denn mein ... =d in der Koordinatengleichung. Ist ja Normalenvektor mal Ortsvektor eines Punktes der Ebene. Ich weiß, ich kann damit die Spurpunkte bestimmen. ABer wenn da 22 steht, sagt mir das erstmal nichts, oder?

17.11.2015, 20:48

sixty-four

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Zitat:

Original von misterxy
Ok... Das habe ich verstanden. Glaub ich.

Aber das sagt mir doch eigentlich nur, das mein Abstand von der x1x3 Ebene a/3 ist, oder?

Genau so ist es.

Zitat:

Original von misterxy
Weil, kann ich nicht erklären. Es geht ja nicht darum, was ich für x2 einsetze, dann würde ich das verstehen. Mein Punkt hat an der x2-Koordinate den Wert 4 --> a/12 ist der Abstand. Mein Punkt hat an der x2-Kkordinate den WErt 3 -->a/9 ist der Abstand. Ok, vestehe ich doch nicht...

Wenn du für $\begin{eqnarray*} x_2=4 \end{eqnarray*}$ setzt, dann muss $\begin{eqnarray*} x_2=\frac{a}{12} \end{eqnarray*}$ sein, wenn du einen Punkt auf der Ebene hast. Für alle anderen Werte von $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ liegt der Punkt nicht auf der Ebene, sondern irgendwo im Nirwana. Deine Ebene ist eine Teilmenge alle Punkte im 3-dimensionallen Raum. Und die Koordinaten
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , die auf der Ebene liegen, erfüllen deine Ebenengleichung. Alle anderen Punkte erfüllen sie nicht.

Beispiel:
Der Punkt mit den Koordinaten $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 109 \\ \frac{a}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ liegt auf der Ebene.

Der Punkt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2a \\ 109 \\ -a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ liegt nicht auf der Ebene mit dem Scharparameter a. Das kannst du durch einfaches Einsetzen in die Ebenengleichung feststellen.

17.11.2015, 20:50

misterxy

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Ok.. super... danke smile

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