Stetigkeit mithilfe der Epsilontik beweisen

17.11.2015, 20:03

Beweiser

Stetigkeit mithilfe der Epsilontik beweisen

Meine Frage:
Grüße!

Zeige mithilfe der Epsilontik, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=2x \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist.
Ist $\begin{eqnarray*} g(x)=(2+i)x \end{eqnarray*}$ stetig auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Grüße!

Epsilontik bedeuted, dass folgendes gelten muss:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0\exists \delta(\epsilon>0\forall |h|>\delta : |f(x+h)-f(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |2(x-h)-2x|<\epsilon\Rightarrow 2|(x-h)-x|<\epsilon \Rightarrow |-h|<\frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$
Ab jetzt komme ich nicht mehr weiter. Ich weiß nicht, wie ich das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ hier verwenden soll.
Und wie gehe ich mit der 2. Aufgabenstellung vor?

Dankeschön im Voraus

18.11.2015, 08:40

klarsoweit

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RE: Stetigkeit mithilfe der Epsilontik beweisen

Zitat:

Original von Beweiser
Epsilontik bedeuted, dass folgendes gelten muss:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0\exists \delta(\epsilon>0\forall |h|>\delta : |f(x+h)-f(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists \delta(\epsilon)>0 \forall |h| < \delta : |f(x+h)-f(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Beweiser
$\begin{eqnarray*} |2(x-h)-2x|<\epsilon\Rightarrow 2|(x-h)-x|<\epsilon \Rightarrow |-h|<\frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$

Auch wenn es am Ende keinen Unterschied macht: du hast f(x+h) falsch berechnet.

Zitat:

Original von Beweiser
Ab jetzt komme ich nicht mehr weiter. Ich weiß nicht, wie ich das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ hier verwenden soll.

Nun ja, du sollst ein delta (in Abhängigkeit von epsilon) finden. Offensichtlich ist es doch so, daß aus $\begin{eqnarray*} |h|<\frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |f(x+h)-f(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ folgt. Welche Wahl könnte man also für delta treffen?

Zitat:

Original von Beweiser
Und wie gehe ich mit der 2. Aufgabenstellung vor?

Im Grunde analog. Augenzwinkern

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