sin und cos als Polynom ausdrücken...

24.08.2004, 19:51

Remington Steele

sin und cos als Polynom ausdrücken...

Hi,

folgende Aufgabe:

(im Folgenden A := Alpha)

Drücken Sie sin(2A), cos(2A), sin(3A), cos(3A) als Polynome von sin(A) und cos(A) aus.

Soweit klar, mit den Additionstheoremen krieg ich das soweit hin (zumindest die ersten beiden habe ich schon geschafft).

Nur habe ich in meinen Unterlagen eine "Randbemerkung" aufgeschrieben, daß nur sin ODER cos am Ende (Lösung) übrigbleiben dürfen. Stimmt das denn? D.h. wäre 2 sin(A) - cos(A) bei der 1. Aufgabe falsch?
Und muß man dann ggf. 2 Lösungen (1 für Polynom von sin und eine für Polynom von cos) erstellen??

Danke...

MfG
Stefan

24.08.2004, 20:05

MisterSeaman

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nicht ganz richtig, glaube ich:

$\begin{eqnarray*} sin(2x) = sin(x+x) = sin(x)*cos(x) + cos(x)*sin(x) = 2*sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$

Wahrscheinlich nur ein Tippfehler...

Polynome (die "mehrdimensionalen") dürfen auch mehr als eine Variable enthalten, daher wird das schon okay sein, denke ich.

sin(2x) kann man zwar nur durch Sinus darstellen, das ist dann aber eine unendliche Reihe ("Fourierreihe") und kein Polynom mehr. Nur durch Cosinus wird schwierig, da sie nicht gerade ist.

Ich kann die Aufgabe im Moment schlecht zuordnen, wo wurde die denn gestellt?

Gruß

MisterSeaman

24.08.2004, 20:07

Mathespezialschüler

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Nagut, wenn nur sin oder cos übrig bleiben muss, dann setz doch einfach für sin oder cos folgendes ein:

$\begin{eqnarray*} \sin(x) = \sqrt{1-\cos^2(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos(x) = \sqrt{1-\sin^2(x)} \end{eqnarray*}$

Poste mal deine Lösungen für alle vier Aufgaben, damit wir überprüfen können. Augenzwinkern

24.08.2004, 20:11

Remington Steele

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Danke! Richtig, war ein Tippfehler!

Hm, aber kann mir jemand sagen, ob denn nun in diesem Fall sin UND cos oder nur eines von beiden als Lösung zugelassen ist?

Ach ja, dazu noch eine Frage:

Wie kommt man bei sin(3A) auf die Lösung:

3 sin A - 4 sin hoch 3 A??

Ich weiß, daß sin Quadr. x + cos Quadr. x = 1 gilt und man dann z.B. sin Quadr. x durch 1 - cos Quadr. x ersetzen kann, aber das scheint doch irgendwie nur bei der 4. Teilaufgabe zu gehen? verwirrt

OK, werde dann noch die Lösungen posten, sobald ich fertig bin Augenzwinkern

- bei der 2. habe ich: 1 - 2 sin Quadr. Alpha *stolz schau* Prost

24.08.2004, 20:16

Mathespezialschüler

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Zitat:

Hm, aber kann mir jemand sagen, ob denn nun in diesem Fall sin UND cos oder nur eines von beiden als Lösung zugelassen ist?

Du kannst es machen, wie du willst, wenn nichts in der Aufgabenstellung steht! Warum sollte man nicht beides in einer Formel behalten dürfen?

$\begin{eqnarray*} \sin(3x) = \sin(2x+x) = \sin(2x)\cos(x)+\cos(2x)\sin(x) \end{eqnarray*}$

und dann die Formeln für sin(2x) und cos(2x) anwenden ...

24.08.2004, 20:21

MisterSeaman

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War Deine Randbemerkung vielleicht so zu verstehen, dass nur sin(A) und
cos (A) (Also z.B. nicht sin (2A), cos (2A) ) übrig bleiben dürfen? Augenzwinkern

24.08.2004, 20:23

Remington Steele

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
[QUOTE]
Du kannst es machen, wie du willst, wenn nichts in der Aufgabenstellung steht! Warum sollte man nicht beides in einer Formel behalten dürfen?

Hm, dann habe ich wohl eine falsche Bemerkung aufgeschrieben.

Meinst Du, dann wäre eigentlich z.B. bei der 3. Teilaufgabe der Lösungsweg

= sin (3/2 A + 3/2 A) = ... = 2 sin (3/2 A) cos (3/2 A) auch OK? verwirrt

Wäre ja einfacher Augenzwinkern

- oder muß man das schon möglichst "super" umformen?

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
[QUOTE] $\begin{eqnarray*} \sin(3x) = \sin(2x+x) = \sin(2x)\cos(x)+\cos(2x)\sin(x) \end{eqnarray*}$

und dann die Formeln für sin(2x) und cos(2x) anwenden ...

Hm, yepp... so steht es auch in meinen Lösungen, nur: Dort kommt er z.B. von cos(2x) auf (1-2 sin Quadr. x) als Umformung!!

Warum?? Dazu müßte es doch cos Quadr. x sein, damit man die Formel

cos Q. x + sin Q. x = 1 anwenden kann?

Thx...

24.08.2004, 20:25

Mathespezialschüler

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ums nochmal klar zu machen:

$\begin{eqnarray*} \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \end{eqnarray*}$

das darfst du so stehen lassen, weil es richtig ist. Da steht doch ein = dazwischen, also kannst du es so stehen lassen, wenn die Aufgabe es nicht anders verlangt und deine Aufgabe sagt:

Zitat:

sin(A) und cos(A)

das heißt, es darf beides drin vorkommen!

24.08.2004, 20:26

Remington Steele

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Zitat:

Original von MisterSeaman
War Deine Randbemerkung vielleicht so zu verstehen, dass nur sin(A) und
cos (A) (Also z.B. nicht sin (2A), cos (2A) ) übrig bleiben dürfen? Augenzwinkern

:]Stimmt!! Das wird es wohl sein - mercy!

24.08.2004, 20:29

Mathespezialschüler

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Hast du schon ne Formel für $\begin{eqnarray*} \cos(2A) \end{eqnarray*}$ hergeleitet? dann schreib sie mal hin (am besten mit Formeleditor)

24.08.2004, 20:37

Remington Steele

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Bor klasse - jetzt weiß ich was Du meinst!! O Mann ist das gut hier - nochmals danke für die schnelle Hilfe!! :] Prost

24.08.2004, 20:42

MisterSeaman

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