Ringschluss bzgl. Halbgruppe/Gruppe

17.11.2015, 20:47	Kretos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ringschluss bzgl. Halbgruppe/Gruppe Hallo Leute, meine Mitbewohnerin hat angefangen Mathe zu studieren und ich erinnere mich an die gute Hilfe, die ich bei Analysis hier immer bekommen habe Algebra ist leider so gar nicht meins und außerdem ist es schon ewig her, vll. könntet ihr mich mal kurz anstoßen bzgl. folgender Aufgabe (in der offensichtlich ein Ringschluss verlangt wird): Es sei M eine nicht-leere Halbgruppe bezüglich $\begin{eqnarray} \ast \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind: a) M ist bezüglich $\begin{eqnarray} \ast \end{eqnarray}$ eine Gruppe. b) für alle a,b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ M sind die Gleichungen a $\begin{eqnarray} \ast \end{eqnarray}$ x = b und y $\begin{eqnarray} \ast \end{eqnarray}$ b = a in M eindeutig lösbar. c) Für alle a,b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ M sind die Gleichungen a $\begin{eqnarray} \ast \end{eqnarray}$ x = b und y $\begin{eqnarray} \ast \end{eqnarray}$ b = a in M lösbar. Ich finde in ihrem Skriupt aber auch die einzelnen Definitionen und Voraussetzungen nicht. Ich gehe davon aus, dass man als Lösungsansatz zeigt, wenn a) gilt, dann gilt c) und dann kommt auf b), was wiederrum a) inkludiert.
17.11.2015, 21:05	Kretos	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry für den Doppelpost, aber man kann nur innerhalb von 15 Min editieren und ich bin 2 Min drüber Habe ein paar Definitionen gefunden. Wenn ich a) voraussetze, dann ist M auch ein Monoid (da es eine Gruppe ist), in dem jedes Element invertierbar ist. Dass es ein Monoid ist, impliziert, dass bzgl. $\begin{eqnarray} \ast \end{eqnarray}$ ein neutrales Element e existiert. Wenn ich die Gleichungen aufeinander beziehe (bzw. einsetze) kriege ich zum Beispiel $\begin{eqnarray} y \ast a \ast x = a \end{eqnarray}$ . Daraus würde ich nun schlussfolgern, dass y = x das neutrale Element e sein müsste. Aber ist das jetzt eindeutig, womit ich b) gezeigt habe ?

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