Borelmenge A mit unif(0,1)(A geschnitten [0,t])=t/2 für alle t aus [0,1]

18.11.2015, 12:40	TiFi	Auf diesen Beitrag antworten »
Borelmenge A mit unif(0,1)(A geschnitten [0,t])=t/2 für alle t aus [0,1] Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe. Gibt es ein $\begin{eqnarray} A\in\mathbb{B}_{[0,1]} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} unif(0,1)(A\cap[0,t])=\frac{t}{2},~\forall~t~\in~[0,1] \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich habe mir bereits überlegt, dass es eine solche Menge nicht geben sollte. In Prosa gesprochen ist die Idee, dass es in $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nur die Hälfte der Punkte aus $\begin{eqnarray} [0,t] \end{eqnarray}$ geben kann. Also quasi nur jeder zweite Punkt des Intervalls $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ . Mich erinnert das ganze auch etwas an die Cantor-Menge. Eine weitere Idee war es, dass ich annehme, es gibt eine Menge $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ die sowas erfüllt und einen Widerspruch herleite. Jedoch komme ich nicht auf den Widerspruch. Schon mal vielen Dank für die Hilfe.
22.11.2015, 09:57	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Borelmenge A mit unif(0,1)(A geschnitten [0,t])=t/2 für alle t aus [0,1] Ich habe eine Weile überlegt und leider ist mir nichts elementares eingefallen. Was man machen kann: Es folgt leicht, dass $\begin{eqnarray} \mu(A \cap [t_0,t_1] ) = \frac { t_1 - t_0 } 2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t_1 \geq t_0 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ messbar ist, so ist auch $\begin{eqnarray} \chi_A \end{eqnarray}$ eine messbare Funktion. Nun gilt $\begin{eqnarray} \frac 1 {2\epsilon} \int_{x_0 - \epsilon}^{x_0 + \epsilon} f(x) dx \xrightarrow{\epsilon \to 0} f(x_0) \end{eqnarray}$ für fast alle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ integrierbar ist. Da $\begin{eqnarray} \frac 1{ t_1 - t_0} \int_{t_0}^{t_1} \chi_A = \frac 1 2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t_1 > t_0 \end{eqnarray}$ folgt für $\begin{eqnarray} t_1 \to t_0 \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} \chi_A(t_0) = \frac 1 2 \end{eqnarray}$ für fast alle $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ . Widerspruch. Es muss aber elementarer gehen...

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