Nichtleere Mengen

18.11.2015, 12:52	LisaMa	Auf diesen Beitrag antworten »
Nichtleere Mengen Meine Frage: Hallo, Ich komme bei diesere Aufgabe nicht weiter. Aufgabe: Seien v1=(-2,1),v2=(2,1),v3=(1,2),v4=(1,-2). Finden Sie nichtleere Mengen A,B teilmenge von {1,...,4} mit A schnitt B = leere Menge und xi > 0 für i element A vereinigt B mit (i) Summe von i element A xivi = Summe von element B xivi und (ii) Summe von element A xi = Summe von element B xi. Meine Ideen: Zwei Mengen nehmen entweder A= {1} und B = {2,3,4} Oder A = {1,2} und B = {3,4} Dann wäre der schnitt die leere Menge.
18.11.2015, 13:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Benutze bitte den Formeleditor zum schreiben von Formeln. Niemand hat die Nerven, so etwas zu lesen.
18.11.2015, 16:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man definiere $\begin{align} y_i = \begin{cases} x_i &\;\mbox{falls}\;i\in A\\ -x_i &\;\mbox{falls}\;i\in B\\ 0 &\;\mbox{sonst} \end{cases} \end{align}$ , dann kann man die Bedingungen (i)(ii) umschreiben zu (i') $\begin{align} \sum_{i=1}^4 y_iv_i = 0 \end{align}$ (ii') $\begin{align} \sum_{i=1}^4 y_i = 0 \end{align}$ . Das ist ein homogenes, unterbestimmtes 3x4-lineares Gleichungssystem, von dem man nun irgendeine nichttriviale Lösung $\begin{align} (y_1,y_2,y_3,y_4) \end{align}$ nimmt, die positiven Lösungskomponenten (bzw. eher deren Indizes) packt man dann in $\begin{align} A \end{align}$ , die negativen in $\begin{align} B \end{align}$ , rücksubstituieren in die $\begin{align} x_i \end{align}$ , fertig.
18.11.2015, 17:12	LisaMa	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht warum du -xi geschrieben hast das muss doch größer 0 sein?
18.11.2015, 18:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann denk nochmal genauer drüber nach: Ich hab genauestens beschrieben, dass man mit dieser Festlegung der $\begin{align} y_i \end{align}$ von (i)(ii) zu (i')(ii') kommt - und wieder zurück!!!

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