Erwartungswert und Varianz von Funktionen mit Zufallsvariablen

18.11.2015, 13:36

dacat

Erwartungswert und Varianz von Funktionen mit Zufallsvariablen

Guten Tag,

habe ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:

[attach]39793[/attach]

Es geht mir hier vor allem um die letzte Teilaufgabe, da mir nicht wirklich bewusst ist, was hier von mir verlangt wird. Aber ich trage erstmal meine Lösungsversuche vor.

zu a)

$\begin{eqnarray*} g(X) = 1000(1 - x) f(X=0) = 0.02 f(X=1) = 0.98 E(g(X)) = 1000 \cdot 0.02 = 20 Var(g(X)) = (1000-20)^2 \cdot 0.02 + (0-20)^2 \cdot 0.98 = 19600 1.3 \cdot E(g(X)) = 26 \end{eqnarray*}$

zu b)

Gewinn = Prämie - Auszahlung

$\begin{eqnarray*} G(g(X)) = 26 - 1000(1-x) E(G(g(X))) = (26-1000) \cdot 0.02 + (26-0) \cdot 0.98 = 6 Var(G(g(X))) = (-974-6)^2 \cdot 0.02 + (26-6)^2 \cdot 0.98 = 19600 \end{eqnarray*}$

zu c)

$\begin{eqnarray*} n \cdot E(G(g(X))) = 60000 a = 0.05 60000 \cdot 0.025 = 1500 GG = 60000 \pm 1500 \end{eqnarray*}$

Passt das so?
Besonders bei c) bin ich mir recht unsicher, da ich nicht weiß, ob ich die Information mit a=0.05 damit richtig verwendet habe oder ich etwas anderes hätte machen müssen.

Vielen Dank im Voraus.

18.11.2015, 15:27

HAL 9000

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Bei c) sollst du nutzen, dass die Gewinnsumme nach Zentralem Grenzwertsatz näherungsweise normalverteilt ist. Den Erwartungswert 60000 hast du schon, fehlt noch als Parameter die Varianz dieser Gewinnsumme, um mit dieser Normalverteilungsapproximation dann das gesuchte $\begin{align*} (1-\alpha) \end{align*}$ -Konfidenzintervall für eben jene Gewinnsumme zu ermitteln.

19.11.2015, 21:19

dacat

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Danke dir!

24.11.2015, 22:46

dacat

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So, entschuldigt, dass ich mich erst jetzt mit einem Lösungsversuch zurückmelde.
Allerdings waren mir zum Zeitpunkt der Fragestellungen die Begriffe Normalverteilung und Konfidenzintervall noch nicht ganz vertraut.
Ich arbeite mich gerade an das Thema Konfidenzintervalle heran und habe für c) folgenden Lösungsansatz:

c)

$\begin{eqnarray*} Y= 10.000X E(Y) = 60.000 \sqrt{Var(Y)} = 1.400.000 D(z) = 0.95 z[0.975] = 1,96 KI(60.000, 0,95) = [-2.684.000,+2.804.000] \end{eqnarray*}$

Passt das so?

25.11.2015, 07:57

HAL 9000

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Nein, nicht $\begin{align*} Y=10000X \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} Y=\sum_{k=1}^{10000} X_k \end{align*}$ . unglücklich

Für den Erwartungswert mag das egal sein, aber der Unterschied ist essentiell für die Varianz!!! Es ist sozusagen die Kernidee der Statistik.

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Ich verwende mal besser die Bezeichnungen $\begin{align*} G_k \end{align*}$ aus der Aufgabenstellung: Für die haben wir

$\begin{align*} P(G_k=26) = 0.98 \end{align*}$ und $\begin{align*} P(G_k=-974)=0.02 \end{align*}$ und damit dann $\begin{align*} E(G_k)=6 \end{align*}$ und $\begin{align*} V(G_k)=0.98\cdot 20^2 + 0.02*(-980)^2 = 19600 \end{align*}$ .

Für den Gesamtgewinn $\begin{align*} GG \end{align*}$ bedeutet das

$\begin{align*} E(GG) = \sum_{k=1}^{10000} E(G_k) = 10000\cdot E(G_1) = 60000 \end{align*}$

$\begin{align*} V(GG) \stackrel{!}{=} \sum_{k=1}^{10000} V(G_k) = 10000\cdot V(G_1) = 196000000 \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} \sqrt{V(GG)} = 14000 \end{align*}$ .

Für $\begin{align*} \stackrel{!}{=} \end{align*}$ benötigt man die Unabhängigkeit der Versicherungsfälle.

25.11.2015, 08:42

dacat

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Hm, mit der Transformation von Zufallsvariablen habe ich noch so meine Probleme.
Bin davon ausgegangen, dass hier ebenfalls bei y = bx gilt, dass ich für die Standardabweichung von das Produkt des Betrags von b bilden muss.

Warum genau funktioniert das hier nicht?

Mit den 14.000 im Gegensatz zu den 1.400.000 ändert sich der Intervall natürlich nochmal beträchtlich. Big Laugh

25.11.2015, 10:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von dacat
Bin davon ausgegangen, dass hier ebenfalls bei y = bx gilt, dass ich für die Standardabweichung von das Produkt des Betrags von b bilden muss.

Warum genau funktioniert das hier nicht?

Oje, da mangelt es ja total am Grundverständnis der Statistik. unglücklich

Es ist ein Unterschied, ob man eine Zahl gleichverteilt aus [0,10000] auswürfelt, oder 10000 gleichverteilte Zahlen aus [0,1] auswürfelt und summiert. Soviel sollte doch allein intuitiv klar sein - wenn nicht, simuliere es mal praktisch, geht z.B. bereits mit Excel:

=10000*ZUFALLSZAHL()

bzw. eine Spalte mit 10000 Werten ZUFALLSZAHL(), die dann summiert wird.

Zitat:

Original von dacat
Mit den 14.000 im Gegensatz zu den 1.400.000 ändert sich der Intervall natürlich nochmal beträchtlich.

Die Untertreibung des Jahrhunderts: Mit 14000 macht der ganze Versicherungsgedanke (Mittelung und Ausgleich der Schadensfälle über viele Versicherte) überhaupt erst Sinn. Deine 1400000 und damit ein dickes negatives Ende des Konfidenzintervalls des Gewinns sind doch völliger Unsinn und inhaltlich schwer vermittelbar.

25.11.2015, 10:43

dacat

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Da mangelt es tatsächlich gerade, ich werde mich jetzt nochmal explizit damit auseinandersetzen, um soetwas in Zukunft zu vermeiden.

Sorry für die Unbeholfenheit bei dieser Sache.

25.11.2015, 11:07

dacat

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Da ich den obigen Beitrag nicht mehr editieren kann:

So, jetzt wird mir erstmal klar, wie abstrus mein Gedankengang da war.

Bei meinem Ansatz Y=10.000x, würde es sich nach wie vor um einen einzigen Vertrag handeln. Nur würde ich hier anstelle eines Fahrrads vermutlich etwas wie einen Satelliten versichern. Big Laugh

Dort habe ich dann auch nur zwei Ausgänge des Zufallsexperimentes, nämlich 0 und 1.

Bei der Summe hingegen betrachte ich jeden einzelnen Vertrag für ein Fahrrad als eigenständige, unabhängige Zufallsvariable und daraus resultieren gibt es eben auch nicht nur die AusgangsMöglichkeiten 0 und 1, sondern viele mehr. Je nachdem, ob die einzelnen Versicherungen eben den Ausgang 0 oder 1 haben.

Stimmt dieser Gedankengang so? Hammer

25.11.2015, 11:53

HAL 9000

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Genauso ist es.

Zitat:

Original von HAL 9000
Für $\begin{align*} \stackrel{!}{=} \end{align*}$ benötigt man die Unabhängigkeit der Versicherungsfälle.

Äußerst wichtig: Hat eine Versicherungsgesellschaft z.B. nur Gebäudeversicherungen und das nur in einer konkreten Gegend, so kann sie ein Erdbeben in dieser Region schon mal in den Ruin treiben, weil die Unabhängigkeit der Schadensfälle dann nicht mehr gewährleistet ist.

25.11.2015, 12:06

dacat

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Die Erkenntnis, weshalb ich hier die Summe nehmen muss, war ziemlich essentiell für mein weiteres Verständnis der Materie, denk ich. Danke dafür. Freude

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