Beweis zur Wahrscheinlichkeitsfunktion

18.11.2015, 17:01

Tremonia

Beweis zur Wahrscheinlichkeitsfunktion

Zu beweisen ist folgender Fakt bezüglich der pmf oder Wahrscheinlichkeitsfkt:

$\begin{eqnarray*} p_{X}(k+1) = \frac{p}{1-p}\frac{n-k}{k+1}p_{X}(k) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} k = 0,1,...,n-1 \end{eqnarray*}$

Zwecks des Beweisens ist mir jetzt die Frage gekommen, welche Rolle das k spielt. für ein beliebieges k als kter Wert mit k<= n würde man es wie folgt beweisen können:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} p^{k+1}(1-p)^{n-(k+1)} \end{eqnarray*}$

vereinfachen:
$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} p^{k} p^{1} (1-p)^{n-k} (1-p)^{-1} \end{eqnarray*}$

weiter vereinfachen...

$\begin{eqnarray*} \frac{p}{1-p}\frac{n-k}{k+1} \frac{n!}{k!(n-k)!} p^{k} (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} (k+1)! = k!(k+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (n-k-1)! = \frac{(n-k)!}{n-k} \end{eqnarray*}$

das würde dann der rechten Seite ausgeschrieben entsprechen.

Ist es damit schon bewiesen oder muss ich über die Summe gehen da k von 0...n-1 geht?

18.11.2015, 18:46

HAL 9000

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Nein, das ist völlig Ok so - es geht hier um die Einzelwahrscheinlichkeiten, also keine Summierung. Freude

P.S.: Diese Rekursion ist ganz nützlich, um den Modalwert der Binomialverteilung zu finden. Ich nehme stark an, in dem Zusammenhang habt ihr das auch kennengelernt.

18.11.2015, 19:53

Tremonia

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Hat das was mit der momenterzeugenden Funktion zu tun?

Denn da gibt es ja den Zusammenhang zwischen den Ableitungen momenterzeugenden Funktion an der Stelle 0 der und den Erwartungswerten einer Verteilung. Oder gilt diese Rekursion nur für Binomialverteilungen?

18.11.2015, 20:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Tremonia
Oder gilt diese Rekursion nur für Binomialverteilungen?

So ist es.

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