Formel umstellen

18.11.2015, 19:38

Rivago

Formel umstellen

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{T_1}{T_2} \right) = \left( \frac{v_2}{v_1} \right)^{(\kappa - 1)} \end{eqnarray*}$

Ich möchte das nach v2 umstellen und habe jetzt mal logarithmiert, damit ich die Hochzahl runter krieg.

$\begin{eqnarray*} ln\left( \frac{T_1}{T_2} \right) = ln\left( \frac{v_2}{v_1} \right) \cdot (\kappa - 1) \end{eqnarray*}$

Aber wie krieg ich das v2 da jetzt wieder raus? verwirrt

18.11.2015, 19:44

adiutor62

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RE: Formel umstellen
Ziehe auf beiden Seiten die (k+1)te Wurzel bzw. exponiere mit 1/(k+1)

k = kappa

18.11.2015, 19:48

Rivago

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$\begin{eqnarray*} \sqrt[\kappa - 1]{ln\left( \frac{T_1}{T_2} \right)} = \sqrt[\kappa - 1]{ln\left( \frac{v_2}{v_1} \right) \cdot (\kappa - 1)} \end{eqnarray*}$

Meinst du so? verwirrt

Edit: Hab es jetzt anders gemacht..

$\begin{eqnarray*} v_2 = e^{\frac{ln\left( \frac{T_1 \cdot v_1^{\kappa - 1}}{T_2} \right)}{\kappa - 1}} \end{eqnarray*}$

Damit komm ich auf die richtige Lösung, also ist es auch richtig umgestellt smile

Gibt es eine elegantere Lösung?

18.11.2015, 20:15

adiutor62

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Du brauchst dann keinen ln mehr. Der ln gehört da nicht hinein.

rechts steht nach dem Wurzelziehen nur noch : v2/v1
Du musst jetzt nur noch mit v1 multiplizieren. Einfacher geht's wohl kaum/nicht. smile

18.11.2015, 20:19

Rivago

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Wo gehört der ln nicht mehr hin? Bei meiner Lösung?

Wenn ich das ohne ln mach, komm ich aber nicht mehr auf die richtige Lösung verwirrt

19.11.2015, 00:03

Bjoern1982

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Einen Vorwurf kann man dir ja nicht machen, du hast ja nur das getan, was adiutor62 dir geschrieben hat.
Seinen Fehler mit dem k-1 statt k+1 hast du schon selbst berichtigt.
Sinnvoller und respektvoller dir gegenüber, wäre es gewesen, auch auf deinen Ansatz einzugehen.
Da das bisher nicht geschehen ist, übernehme ich mal diesen Part:

Zitat:

Ich möchte das nach v2 umstellen und habe jetzt mal logarithmiert, damit ich die Hochzahl runter krieg.

Aber die Hochzahl brauchst du doch gar nicht runterkriegen, denn du willst ja nach etwas auflösen, was in der Basis der Potenz steht.
Bei Gleichungen der Form $\begin{eqnarray*} a=b^x \end{eqnarray*}$ , da wäre logarithmieren angebracht, wenn du nach x auflösen willst.
Bei Gleichungen der Form $\begin{eqnarray*} a=x^b \end{eqnarray*}$ kommt es z.B. auch darauf an, ob b<0 ist oder irrational.
In deiner Aufgabe steht bisher nichts weiter über dieses $\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ .

Was soll denn laut deiner Kontroll-Lösung rauskommen ?

19.11.2015, 22:44

Rivago

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Hallo

Ich habe folgendes gegeben:

$\begin{eqnarray*} \kappa = 1,4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_1 = 298,15 \ K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_2 = 154,43 \ K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_1 = 0,01 \ m^3 \equiv 100 \ l \end{eqnarray*}$

Lösung soll sein $\begin{eqnarray*} v_2 = 51,79 \ l \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Formel so nehme, wie ich sie umgestellt habe, also
$\begin{eqnarray*} v_2 = e^{\frac{ln\left( \frac{T_1 \cdot v_1^{\kappa - 1}}{T_2} \right)}{\kappa - 1}} \end{eqnarray*}$
und dort dann meine gegebenen Werte einsetze, komme ich auf $\begin{eqnarray*} v_2 = 0,05179 \ m^3 \equiv 51,79 \ l \end{eqnarray*}$

Von dem her passt es ja smile

Aber kann man das denn nicht einfacher/eleganter umstellen? So wie jetzt ist es ja irgendwie echt ätzend, so ein riesiger Exponent unglücklich

19.11.2015, 23:03

Dopap

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in Physik bin ich nicht so ein Freund von so großen Umstellungen.

Wie wäre es, in die Ausgangsgleichung erst mal alle Werte einzusetzen und soweit wie möglich zu vereinfachen.

z.B. ist $\begin{eqnarray*} \ln(\frac {T_1}{T_2}) \end{eqnarray*}$ eine Zahl und ebenso

$\begin{eqnarray*} 2.5\cdot \ln(\frac {T_1}{T_2}) \end{eqnarray*}$ dann Exp() anwenden---->Zahl

und rechts steht noch ein kleiner Bruch.

Du berechnest das Ergebnis simultan mit der Umstellung.
------------------------------------------------------------------------------
EDIT: ist das Kappa der Exponent bei isentroper Zustandsänderung ?

19.11.2015, 23:04

Mathema

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Ich würde $\begin{eqnarray*} \kappa = 1,4 \end{eqnarray*}$ einsetzen. Dann kannst du umstellen zu:

$\begin{eqnarray*} v_2=\sqrt{(\frac{T_1}{T_2})^5}\cdot v_1 \end{eqnarray*}$

19.11.2015, 23:32

Dopap

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ja, das geht mathematisch sehr schön, da Kappa -1 = 2/5 ist.

In Physik könnte z.B. Kappa -1 = 0.407 sein. Und da würde die "Wurzeltechnik" etwas eigentümlich ausschauen.

20.11.2015, 23:29

Rivago

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Hallo

Ja, Kappa ist der Isentropenexponent Wink

Danke! Ich bin da inzwischen (leider?) etwas gezeichnet von diversen Vorlesungen, in denen größtenteils nur noch theoretisch gerechnet wird und erst am Schluss werden dann mal Zahlen eingesetzt. Das heißt, man stellt erstmal die "allgemeingülte" Form auf, die dann immer gilt, und diese kann man dann mit unterschiedlichen Zahlen füttern.
Hab es mir angewöhnt, das jetzt auch so zu machen und komme deshalb oft nicht auf die Idee, einfach mal Zahlen einzusetzen, was die Formelumstellung leichter machen kann Big Laugh

Nichtsdestotrotz: Stimmt meine Umstellung? Angesichts des richtigen Ergebnisses muss es ja so sein, aber ich frag lieber trotzdem nochmal nach Wink

Und nochmals die Frage: Einfacher gehts nicht? (außer man setzt Zahlen ein und stellt dann um.)

21.11.2015, 17:01

Mathema

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Es haben dir doch nun schon ein paar Leute hier im Thread geantwortet. Wende doch mal Logarithmen- und Potenzgesetze an:

$\begin{eqnarray*} v_2 = e^{\frac{ln\left( \frac{T_1 \cdot v_1^{\kappa - 1}}{T_2} \right)}{\kappa - 1}}=e^{\frac{1}{\kappa -1}\cdot \ln( \frac{T_1 \cdot v_1^{\kappa - 1}}{T_2})}=(e^{\ln( \frac{T_1 \cdot v_1^{\kappa - 1}}{T_2})})^{\frac{1}{\kappa -1}}=(\frac{T_1 \cdot v_1^{\kappa - 1}}{T_2}})^{{\frac{1}{\kappa -1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(\tfrac{T_1}{T_2})^{\frac{1}{\kappa -1}}\cdot v_1 \end{eqnarray*}$

Das hättest du direkt haben können, wenn du wie adiutor es im ersten Beitrag (nur mit + statt -) geschrieben hat deine Gleichung mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\kappa -1} \end{eqnarray*}$ exponiert und anschließend mit $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ multipliziert hättest.

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