Lineare Unabhängigkeit für drei Vektoren

19.11.2015, 00:49

toamata

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Lineare Unabhängigkeit für drei Vektoren

Meine Frage:
Hallo,

also ich habe drei Vektoren:
$\begin{eqnarray*} v_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a \end{pmatrix}<br /> v_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} <br /> v_{3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich soll herausfinden für welche $\begin{eqnarray*} a \in Q \end{eqnarray*}$ die Familie der Vektoren linear unabhängig im Q-Vektorraum $\begin{eqnarray*} Q^{3} \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
Als wir die Aufgabe bekommen haben, hatten wir Matrizen noch nicht besprochen, also müsste es ohne gehen, aber ich weiß nicht genau wie.

Wir haben zur linearen Unabhängigkeit definiert, dass die Linearkombination der drei Vektoren gleich 0 ist für $\begin{eqnarray*} \alpha = \beta = \gamma = 0 \end{eqnarray*}$ .

Da mir das nicht einfällt, kann man ja Matrizen hernehmen, also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \\ a & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber auch hier schaffe ich es nicht, die Variable a zu bestimmen.

Ein Schubs in die richtige Richtung wäre nicht schlecht. smile

smile

19.11.2015, 00:59

URL

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RE: Lineare Unabhängigkeit für drei Vektoren
Stichwort Determinante.
Alternativ: Gauß Algorithmus

19.11.2015, 01:05

Bjoern1982

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Zitat:

dass die Linearkombination der drei Vektoren gleich 0

Nicht gleich null sondern gleich dem Nullvektor.

Zitat:

Da mir das nicht einfällt,

Was nicht einfällt ? Deine Gedankengänge sind etwas merkwürdig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Betrachten wir also gemäß deiner oben formulierten Definition das folgende Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ohne Vektoren geschrieben ist das nichts anderes als:

x+2y=0
x+3z=0
ax+3y+z=0

Das kann man jetzt auch (wie jedes LGS) in eine Matrix schreiben, man kann es aber auch lassen.
Möglich wäre es z.B. mittels der ersten beiden Gleichungen y und z durch x auszudrücken und dann in die dritte Gleichung einzusetzen.
Damit kann man dann letztendlich schlussfolgern, für welche a das LGS nun eindeutig lösbar ist (also nur die Lösung x=y=z=0) oder unendlich viele Lösungen besitzt.

19.11.2015, 01:19

toamata

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Antwort

Zitat:

Original von Bjoern1982

Das kann man jetzt auch (wie jedes LGS) in eine Matrix schreiben, man kann es aber auch lassen.
Möglich wäre es z.B. mittels der ersten beiden Gleichungen y und z durch x auszudrücken und dann in die dritte Gleichung einzusetzen.
Damit kann man dann letztendlich schlussfolgern, für welche a das LGS nun eindeutig lösbar ist (also nur die Lösung x=y=z=0) oder unendlich viele Lösungen besitzt.

Achso richtig, naja das kann ich ja mal machen, glaube ich.

$\begin{eqnarray*} y = -\frac{1}{2}x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = -\frac{1}{3}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ax - \frac{3}{2}x - \frac{1}{3}x = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$

So richtig?

Danke übrigens für deine Mühen, ist ja auch schon spät.

19.11.2015, 01:23

Bjoern1982

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Warum folgerst du a=0 ?
Klammere mal x am Ende aus und überlege dir dann, was man für a einsetzen muss, damit die Gleichung immer (d.h. unabhängig davon, was man für x einsetzt) wahr ist.

19.11.2015, 01:32

toamata

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Antwort
Oh, was habe ich denn da für Unsinn geschrieben?

Also ist die Lösung wohl $\begin{eqnarray*} a = 11/6 \end{eqnarray*}$ .

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19.11.2015, 01:36

Bjoern1982

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11/6 ist schon mal genau richtig. Freude

Freude

Jetzt musst du diesen Wert aber noch richtig interpretieren.
Es geht ja darum zu sagen, für welches a nun die drei Vektoren unabhängig sind.
Linear unabhängig sind sie genau dann, wenn das entsprechende LGS ausschließlich die (triviale) Lösung x=y=z=0 besitzt.
Was kannst du denn jetzt bzgl. der Anzahl der Lösungen des LGS sagen, wenn a=11/6 gilt ?

19.11.2015, 01:46

toamata

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Zitat:

Original von Bjoern1982
11/6 ist schon mal genau richtig. Freude

Freude

Jetzt musst du diesen Wert aber noch richtig interpretieren.
Es geht ja darum zu sagen, für welches a nun die drei Vektoren unabhängig sind.
Linear unabhängig sind sie genau dann, wenn das entsprechende LGS ausschließlich die (triviale) Lösung x=y=z=0 besitzt.
Was kannst du denn jetzt bzgl. der Anzahl der Lösungen des LGS sagen, wenn a=11/6 gilt ?

Bzgl. der Anzahl der Lösungen des LGS?

Mit ist die Antwort auf diese Frage nicht ganz klar, hätte jetzt mal gedacht, dass es ziemlich unmöglich ist, x, y und z einen anderen Wert als 0 zu geben wenn da so ein Bruch dasteht.

19.11.2015, 01:48

Bjoern1982

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Na dann nochmal mit anderen Worten:

Was passiert denn, wenn du a=11/6 hier einsetzt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ax - \frac{3}{2}x - \frac{1}{3}x = 0 \end{eqnarray*}$

19.11.2015, 01:53

toamata

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Antwort
Dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} 0 = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Entschuldige, was ist jetzt der nächste Schritt?

19.11.2015, 01:56

toamata

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RE: Antwort
Erhalte ich also unendlich viele Lösungen für x, y und z?

19.11.2015, 01:56

Bjoern1982

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Zitat:

Dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ .

Eben das ist falsch.
Das würde ja bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} \frac{11}{6}x - \frac{3}{2}x - \frac{1}{3}x \end{eqnarray*}$ zusammengefasst x ergibt.

19.11.2015, 01:59

toamata

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Antwort
Habe es geändert.

19.11.2015, 02:04

Bjoern1982

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0=0 stimmt und ebenso, dass es also für a=11/6 unendlich viele Lösungen gibt. Freude

Freude

Linear unabhängig sind die Vektoren aber nur dann, wenn es nur genau eine Lösung, nämlich x=y=z=0, gibt.
Was schließen wir also daraus ?

19.11.2015, 02:05

toamata

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Antwort
Das die Vektoren unabhängig für alle a ungleich 11/6 sind? Tanzen

Tanzen

19.11.2015, 02:06

Bjoern1982

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Sooo ist es. Wink

Wink

19.11.2015, 02:10

toamata

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Antwort
Cool, danke für deine Hilfe. smile

smile

Ich beiße mich übrigens gerade durch das erste Semester meines Physikstudiums und ich sehe schon, dass ich wohl noch einiges an Arbeit vor mir habe. Forum Kloppe

Forum Kloppe

19.11.2015, 02:13

Bjoern1982

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Keine Ursache.

Einfach dranbleiben und nicht den Mut verlieren.
Die Routine kommt dann irgendwann von alleine. smile

smile

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