Schnittpunkt/Abstand zwischen Gerade und Ebene

19.11.2015, 13:03

Willsverstehen

Schnittpunkt/Abstand zwischen Gerade und Ebene

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Abstand der Geraden zur Ebene und ggf. den Schnittpunkt.

a) G1: x= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -12 \\ 10 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} -5 \\ -11 \\ 13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
E1: x= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5\\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \lambda\begin{pmatrix} 3\\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +µ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Soweit, so klar.
Nun muss man nach meinem Wissensstand erstmal prüfen, ob Ebene und Gerade parallel verlaufen. $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ = 0 ist.
Dafür habe ich zuerst $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ der Ebene berechnet (Kreuzprodukt aus den beiden hinteren Richtungsvektoren der Ebene). Dabei kam $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -21 \\ -7 \\ -14 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus.
Das Skalarprodukt mit $\begin{eqnarray*} \vec{a} \begin{pmatrix} -5 \\ -11 \\ 13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist dann -210.
Sie wären also nicht parallel.
2 Onlinetools zum Berechnen des Abstands, die ich zum überprüfen herangezogen habe, behaupten aber genau das Gegenteil.
Was mache ich falsch? Übersehe ich da was und bin einfach blind?

Wäre über jeden Tipp dankbar!

19.11.2015, 13:12

Helferlein

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Vorzrichenfehler bei der Berechnung des Skalarprodukt.
-210 kann gar nicht herauskommen, da nur die dritten Koordinaten unterschiedliche Vorzeichen haben.

19.11.2015, 13:16

Bjoern1982

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Du hast dich beim Skalarprodukt am Ende einfach verrechnet.
Einfacher wird die Rechnung, wenn du deinen Normalenvektor noch etwas stutzt (durch -7 teilen).

Wie Gerade und Ebene genau zueinander liegen, würde sich übrigens auch aus dem entsprechenden LGS ergeben, wenn du die Terme gleichsetzt.
Dafür wäre jedoch noch eine Umbenennung eines Parameters von Nöten, denn es kommt zweimal ein lambda vor.

19.11.2015, 13:16

Elvis

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Mit Gauß sieht man sofort, dass die 3 Vektoren linear abhängig sind, also sind Ebene und Gerade parallel.

19.11.2015, 13:20

Willsverstehen

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Zitat:

Original von Helferlein
Vorzrichenfehler bei der Berechnung des Skalarprodukt.
-210 kann gar nicht herauskommen, da nur die dritten Koordinaten unterschiedliche Vorzeichen haben.

Oh man ... wenn man zu lange an einer Aufgabe sitzt, sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr. Hatte beim schreiben dieser Frage nämlich bereits gemerkt, dass ich die ganze Zeit mit einem falschen a gerechnet hatte. Dann beim schnellen nachrechnen kam jetzt dieser Vorzeichenfehler noch dazu ... Danke dir, dann weiß ich, dass ich es ja doch soweit verstanden habe smile

@Rest:
Euch danke für die ergänzenden Hinweise! Nehme ich mir bei den weiteren Aufgaben mal vor!

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