Maximale Abweichung von 2 Kurven |
| 19.11.2015, 13:09 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Maximale Abweichung von 2 Kurven ich habe folgende zwei Kurven: Einen Viertelkreis: und eine andere Kurve: Welche Methoden bieten sich hier an, um die maximale Abweichung der Kurve vom Viertelkreis zu bestimmen? Vielen Dank im Voraus. |
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| 20.11.2015, 13:43 | Widderchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, um den maximalen Abstand zwischen diesen beiden parametrisierten Kurven bestimmen zu können, müsstest du zunächst den Abstand über die euklidische Norm berechnen. Dieser Ausdruck liefert die eine Wurzelfunktion im Argument t, die auf Extremstellen untersucht werden müsste. Entscheidend wird dabei die Ableitung der inneren Funktion sein, da du noch zusätzlich die äußere Ableitung (aufgrund der Kettenregel) erhältst. Diese kann aber vernachlässigt werden, da die Ableitung bekanntlich über die notw. Bed. Null gesetzt wird. Alternativ könnte es auch sehr hilfreich sein, ein geeignetes Computerprogramm, wie z.B. Mathematica (siehe online Wolfram Alpha), MatLab, etc. zur Bestimmung der Ableitung zu verwenden. Ich hoffe, dieser Beitrag war hilfreich. Ich habe die Ableitung der inneren Funktion mt Mathematica ermittelt. Du kannst sie dir auf dem folgenden Link ansehen: https://www.wolframalpha.com/input/?i=derive+%28-0.0539+t^4+%2B+1.8922+t^3+-+2.8383+t^2+%2B+1+-+cos%28t%29%29^2+%2B+++%28-0.0539+t^4+-+1.6766+t^3+-+2.5149+t^2+%2B+0.2156+t+-+sin%28t%29%29^2 Der Faktor 2 der inneren Ableitung lässt sich mit dem Faktor 1/2 von der äußeren Ableitung kürzen. Die innere Funktion ist ein Polynom 7. Ordnung mit trigonometrischen Funktionen. Diese Funktion muss dann auf Nullstellen untersucht werden. Das wird eine unangenehme Rechnung! 
Viele Grüße Widderchen |
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| 20.11.2015, 15:51 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Originalkurven sehen so aus: [attach]39811[/attach] mY+ |
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| 20.11.2015, 16:17 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Allerdings läuft t ja hier nur von 0 bis 1. Und da bleibt nur die eine Linie übrig: Die hat offenbar den größten Abstand vom Viertelkreis bei 45°, also wenn die horizontale und vertikale Funktion denselben Wert haben. Man könnte somit die beiden Terme gleichsetzen, nach t auflösen (die biquadratischen Summanden fallen weg) und ebendiese Funktionswerte bestimmen. Dann über Pythagoras den Abstand vom Ursprung und vom Kreisradius abziehen. Viele Grüße Steffen |
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| 20.11.2015, 16:29 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Interessant, ist nachvollziehbar und liefert t = 0,5 ---------- Da ist unser parametrischer Plotter überlegen, bei meinem konnte ich auf die Schnelle jetzt keinen Bereich wählen. mY+ |
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| 20.11.2015, 18:41 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo erst einmal und danke für die hilfreichen Antworten. Ich habe gelesen, dass ich folgende Fehlerfunktion verwenden kann: Dazu habe ich mit Matlab mal die Kurve P(t) mit den x und y Komponenten in f(t) eingesetzt. Danach habe ich die Ableitung von f(t) gebildet und 0 gesetzt. Daraus kamen dann eben Werte für t: 0 0.5 1.0 0.5 - 0.72565341994092422146i 0.5 + 0.72565341994092422146i -0.32774151401996116877 1.3277415140199611688 Diese habe ich dann in f(t) eingesetzt habe. Folgende Werte habe ich erhalten: 0.0 -0.760221875 0.0 - 4.3004632287144725553 - 8.0779356694631608874e-28i - 4.3004632287144725553 + 8.0779356694631608874e-28i -0.9135295305817669205 -0.9135295305817669205 Also der Wert 0.0 der zweimal auftritt ist offensichtlich bei t=0 und t=1, denn da sind die beiden Kurven gleich. Meine Frage Was sollen eigentlich die komplexen Nullstellen und die daraus resultierenden komplexen Werte? Wie interpretiere ich jetzt aus den 7 Werten den maximalen Fehler / die maximale Abweichung? EDIT//: Hat es was damit zu tun, dass folgendes gelten muss? . Darf ich also in f(t) demnach nur die Werte: t=0, t=0.5 und t=1 einsetzen? Vielen Dank im Voraus. |
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| 20.11.2015, 23:13 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diesen Wert erhalte ich in meiner obigen Rechnung auch 
.Für , liefer die Fehlerfunktion einen Fehler von: Also etwa eine maximale Abweichung von 76,02%? Dieses Minus stört mich irgendwie. |
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| 21.11.2015, 16:35 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zur Vollständigkeit: Dieses Minus heißt einfach nur, dass die approximierte Kurve unterhalb der Originalkurve, also dem Viertelkreis verläuft. Das sieht man auch ziemlich gut am Schaubild. |
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| 23.11.2015, 10:00 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Fehlerfunktion ist nicht ganz korrekt, sie müsste lauten Widderchen hat ja auch schon angemerkt, dass ein Wurzelausdruck entsteht. Zur Ermittlung des maximalen Abstands kann sie aber auch ohne die Wurzel verwendet werden, denn wo die Wurzelfunktion extrem wird, ist auch deren Argument extrem. Die drei Extrema 0/0,5/1 waren zu erwarten, denn bei t=0 und t=1 ist der Abstand minimal (nämlich Null) und bei t=0,5 eben maximal. Dann gibt es noch zwei weitere Extrema, die man in Mythos' Bild gut sieht, da schneidet die Kurve den Kreis noch einmal, auch da ist der Abstand wieder Null, also minimal. Aber t soll eben nur von 0 bis 1 gehen, daher interessieren diese Werte nicht, zumal es ja auch nur Minima sind. Für reelles t gibt es danach keine Extrema mehr. Für ein komplexes t eben noch die zwei weiteren, aber die kann man sich geometrisch schlecht vorstellen. EDIT: diese beiden Nullstellen existieren auch ohnehin nur in der Funktion ohne die Wurzel. In der von mir genannten korrekten Funktion gibt es nur die fünf genannten Extrema. Wenn Du nun t=0,5 in die richtige Fehlerfunktion einsetzt, erhältst Du den korrekten maximalen Abstand. Nicht relativ, sondern eine absolute Zahl (etwa ein Viertel, was ja auch zu Deinem Graphen passt). EDIT2: wobei das in diesem Fall natürlich auch eine relative Abweichung ist, stimmt... Viele Grüße Steffen |
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