DGL erstellen und verstehen in Regelungstechnik

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voodoo Auf diesen Beitrag antworten »
DGL erstellen und verstehen in Regelungstechnik
Hallo miteinander!
Ich habe eine Aufgabe bekommen, die ein bisschen mehr als nur Mathe beeinhaltet, sondern auch wohl ein bisschen Physik. Es geht um folgenden Aufbau:
[attach]39805[/attach]

Bild aus externem Link als Anhang eingefügt. Bitte keine externen Links verwenden. Steffen

Im Prinzip wird der Motor (der Magnet) angetrieben dieser bringt dabei seinen Stator (also der Aluminiumzylinder) dazu sich zu drehen. Aber das ganze wird dann durch die Rückstellfeder und den Dämpfer abgefangen, sodass auf der Anzeige nun angezeigt werden kann und wir so eine Messung erhalten.
Der Motor dreht sich mit der Drehzahl und erzeugt so wirbelströme im Zylinder. Wenn also konstant bleibt, dann pendelt sich das System ein, nämlich so, dass das Drehmoment, das vom Wirbelstrom erzeugt wird, gleich dem der Rückstellfeder wird. Der Dämpfer verringert einfach nur die Schwingungen im System. Schließlich können wir an ablesen, wie weit sich der Aluminiumzylinder gedreht hat.

Ich soll nun eine DGL herleiten, die den Ausschlag mit in Verbindung bringt. Als Ausgangspunkt ist das Momentengleichgewicht gegeben mit:



wobei gilt: bezeichnet die Dämpfung
bezeichnet die Federkraft
und bezeichnet die Massenträgheit

Um zu bestimmen sollen wir das Induktionsgesetzt . Dabei sind l und r die Dimension des Zylinders.
Die Kraft, die durch diesen Wirbelstrom auf ist gegeben durch:

Hab ich das alles gemacht soll ich den Term abspalten und mit einer Konstanten annehmen.
D, k, und C sind jeweils gegeben.

Wie würde ich an so etwas rangehen? Also die Formel oben für gibt ja das Gleichgewicht an oder? Wir haben halt in der Vorlesung gehabt, das man sich eine Ruhelage angucken sollte, also wäre das ja nun hier, wenn es keine Verdrehung des Zylinders geben würde. Das heißt dann, dass sein müsste. Aber das macht doch eigentlich gar keinen Sinn oder doch? Und wie setze ich die Kraft des Wirbelstroms in bezug auf die Kraft der Rückstellfeder und den anderen kräften?
Kann mir da einer weiterhelfen? Wäre supi Freude
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Symbole und Einheiten:
r=Radius des Zylinders in [m]
R=Ohmscher Widerstand in [V/A]
F=Lorentzkraft in [kg m /s²]
U=Spannung in [V]
I=Strom in [A]
L=Länge des Zylinders in [m]
=Drehwinkel [ohne Dimension]
=Winkelgeschwindigkeit des Magneten in [1/s]
B=magnetische Flussdichte in [kg/A/s²]
D=Dämpfungskonstante in [kg m²/s]
k=Federkonstante (Torssion) in [kg m²/s²]
=Trägheitsmoment des Zylinders in [kg m²]

Folgende Drehmomente wirken im System
=Drehmoment infolge der Trägheit des Aluminiumzylinders
=bremsendes Drehmoment infolge der Reibung, die proportional zur Winkeländerung ist
=Drehmoment infolge der Feder
=Drehmoment infolge des Wirbelstroms

Die letztere Formel kann man sich aus folgenden Formeln leicht beschaffen:

Drehmoment ,
Lorentzkraft ,
Ohmschen Gesetz
Induktionsgesetz


Prinzip
Der Magnet wird von einem externen Motor in Rotation versetzt. Dabei werden im Aluminiumzylinder Wirbelströme erzeugt, wodurch der Zylinder versucht, sich mitzudrehen. Die 3 Drehmomente wirken der Mitdrehung des Aluminiumzylinders entgegen. Zwischen den 4 Drehmomenten existiert folgendes Gleichgewicht



Einsetzen der Drehmomente liefert folgende Differenzialgleichung



Diese Gleichung muss nach dem zeitabhängigen Winkel aufgelöst werden. Spezialfall: Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit stellt sich ein Gleichgewicht ein, so dass der Winkel zeitlich konstant aber ungleich Null ist (=Ruhelage). In diesem Falle verschwinden die Summanden mit und . Damit vereinfacht sich die Differenzialgleichung zu



Dies kann man einfach nach umstellen, denn es ist keine Differenzialgleichung mehr.
voodoo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL erstellen und verstehen in Regelungstechnik
OK verstanden,
bis auf:
Warum fließt dort der Radius mit ein??
und das mit der lorentzkraft muss ich mir nochmal angucken. da war doch mal was mit drei fingern oder? rechte hand oder linke?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Das Drehmoment M ist allgemein definiert als Produkt aus der Kraft F und der Länge r des Hebelarms:



Wenn man z.B. eine Schraube mit einem Schraubenschlüssel anzieht, dann ist das Drehmoment um so größer, je länger der Schraubenschlüssel ist (=Radius) und je stärker man anzieht (Kraft).
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