Grenzwert finden

19.11.2015, 15:51

Weitweg

Grenzwert finden

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} ( 1 + \frac{1}{n^2+2n})^{n^2} * ( 1- \frac{1}{n+2})^{2n} \end{eqnarray*}$ .

Es soll $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} ( 1 + \frac{1}{n^2+2n})^{n^2} = e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} ( 1- \frac{1}{n+2})^{2n} = \frac{1}{e^2} \end{eqnarray*}$ rauskommen, aber weiß aber nicht, wie man dazu kommt...

19.11.2015, 16:33

Mathema

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Es ist:

$\begin{eqnarray*} ( 1 + \frac{1}{n^2+2n})^{n^2}=\frac{( 1 + \frac{1}{n^2+2n})^{n^2+2n}}{(1+\frac{1}{n^2+2n})^{2n}} \end{eqnarray*}$

Ist dir damit der erste Grenzwert klar?

19.11.2015, 17:00

Weitweg

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Nein, leider nicht... Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} ( 1 + \frac{1}{n} )^n \end{eqnarray*}$ gegen e konvergiert...

19.11.2015, 17:09

Mathema

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Und woran scheiterst du denn?

Wende die Quotientenregel an und bilde den Grenzwert von Zähler und Nenner. Dass der Zähler dann gegen e konvergiert, sollte wohl klar sein. Und dass der Nenner gegen 1 geht ist doch auch leicht einzusehen.

19.11.2015, 17:22

Weitweg

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Wende die Quotientenregel an:

Also soll ich bei $\begin{eqnarray*} a_n := \frac{( 1 + \frac{1}{n^2+2n})^{n^2+2n}}{(1+\frac{1}{n^2+2n})^{2n}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}/a_n \end{eqnarray*}$ berechnen?

19.11.2015, 17:27

Mathema

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Du sollst den Grenzwertsatz anwenden.

Es ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}( 1 + \frac{1}{n^2+2n})^{n^2}= \lim_{n \to \infty}\frac{( 1 + \frac{1}{n^2+2n})^{n^2+2n}}{(1+\frac{1}{n^2+2n})^{2n}}=\frac{\lim_{n \to \infty}( 1 + \frac{1}{n^2+2n})^{n^2+2n}}{\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n^2+2n})^{2n}}=\frac{e}{1} \end{eqnarray*}$

19.11.2015, 17:35

Weitweg

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Ohh, danke!

Aber warum ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n^2+2n})^{2n}=1 \end{eqnarray*}$ ?

19.11.2015, 17:36

Mathema

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Na - wogegen läuft denn der Bruch, wenn n gegen unendlich geht?

19.11.2015, 18:06

Weitweg

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n^2 +2n = + \infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ n^2 +2n} = 0 \end{eqnarray*}$

Aber warum darf man den limes in die Klammer hineinziehen, wenn man das ganze noch ^2n nehmen muss? Mit der Argumentation wäre ja auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} ( 1 + \frac{1}{n})^n = 1^n = 1 \end{eqnarray*}$ ...

Tut mir leid, ich bin nur in Moment etwas verwirrt...

19.11.2015, 18:34

Mathema

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Das liegt daran, dass $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ schneller wächst als $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ . Bei deinem Beispiel $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} ( 1 + \frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ sind Nenner und Exponent vom selben Grad, da versagt die Argumentation.

19.11.2015, 19:40

Matt Eagle

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ wächst schneller als $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$

Eine solch unscharfe Aussage kann niemals die Grundlage eines strengen Beweises sein.

Um das Ganze zu tatsächlich zu beweisen könntest Du z.B. auf Basis folgender Betrachtung

$\begin{eqnarray*} 1\leq\left(1+\frac 1{2n+n^2}\right)^{2n}\leq\left(1+\frac 1{n^2}\right)^{2n}=\left(\left(1+\frac 1{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac 2n} \end{eqnarray*}$

weiter argumentieren.

19.11.2015, 19:59

Weitweg

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Ohh, ok, danke!

Und bei $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} ( 1- \frac{1}{n+2})^{2n} \end{eqnarray*}$ ?

19.11.2015, 20:09

Mathema

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Da solltest du nun mal selbst ein Ansatz liefern können. Überleg mal. Du hast ja schon das Ergebnis, das zeigt doch, dass du so umformen musst, dass du wieder den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} ( 1 + \frac{1}{n})^n = e \end{eqnarray*}$ nutzen kannst.

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