Beweis eines Unterraums

19.11.2015, 18:09	s_punkt	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis eines Unterraums Hallo Ich hab folgende Aufgabe: Gegeben sei der $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{3} \end{eqnarray}$ . Für ein festes $\begin{eqnarray} \vec{v} \in \mathbb{R}^{3} (\vec{v} \neq \vec{0}) \end{eqnarray}$ und ein festes $\begin{eqnarray} c \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} E:= \left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}\|\langle \vec{x},\vec{v}\rangle=0\right\} \end{eqnarray}$ eine Teilmenge (eine Ebene) des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{3} \end{eqnarray}$ . Beweisen Sie für c=0 ist E ein zweidimensionaler Unterraum des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{3} \end{eqnarray}$ . Mir fehlt da irgendwie der Ansatz wie ich das beweisen könnte.
19.11.2015, 18:22	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie es jetzt da steht, ist die Aufgabe nicht verständlich...Soll es statt $\begin{align} \langle \vec{x},\vec{v}\rangle=0 \end{align}$ vielleicht $\begin{align} \langle\vec{x},\vec{v}\rangle=c \end{align}$ heißen und dann der Fall für $\begin{align} c=0 \end{align}$ betrachtet werden? Und ist mit $\begin{align} \langle \vec{x},\vec{v}\rangle \end{align}$ das Standardskalarprodukt gemeint?
19.11.2015, 18:30	s_punkt	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja es soll $\begin{eqnarray} E:=\left\{ \vec{x}\in \mathbb R \|\langle \vec{x},\vec{v}\rangle =c \right\} \end{eqnarray}$ heißen. Und das in den eckigen Klammern ist das Standardskalarprodukt
19.11.2015, 18:39	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann könntest du mal mit $\begin{align} \vec{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix},\vec{v}=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \end{align}$ ansetzen und das Skalarprodukt ausrechnen. Danach sollten eigentlich keine größeren Probleme auftreten.
19.11.2015, 19:00	s_punkt	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wäre ja dann $\begin{eqnarray} \langle \vec{x},\vec{v}\rangle = x_{1}\cdot v_{1}+x_{2}\cdot v_{2}+x_{3}\cdot v_{3} \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} c=0 = x_{1}\cdot v_{1}+x_{2}\cdot v_{2}+x_{3}\cdot v_{3} \end{eqnarray}$ soll ja dann gelten, aber ich seh da nicht wie es weiter geht, mir liegt das Thema nicht so sehr
19.11.2015, 19:02	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt Unterraumkriterien, die solltet ihr in der Vorlesung eingeführt haben. Diese lassen sich hier überprüfen.
Anzeige

19.11.2015, 19:36	s_punkt	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Unterraum haben wir folgendes definiert: $\begin{eqnarray} u,v\in U\Longrightarrow u+v\in U\\<br /> u\in U, \lambda\in\mathbb{R} \Longrightarrow \lambda\cdot u\in U \end{eqnarray}$ Wie mir das hier weiterhelfen soll erkenne ich aber noch nicht so direkt.
19.11.2015, 20:41	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nicht die Definition eines Unterraum, das ist ein Kriterium welches man zur Überprüfung ob eine gegebene Teilmenge ein Unterraum ist heranziehen kann. Sei $\begin{align} \mathcal V \end{align}$ ein Vektorraum über einem Körper $\begin{align} K \end{align}$ (in deiner Aufgabe haben wir als Körper die reellen Zahlen $\begin{align} \mathbb R \end{align}$ ). Eine Teilmenge $\begin{align} \mathcal W \end{align}$ von $\begin{align} \mathcal V \end{align}$ ist genau dann ein Unterraum von $\begin{align} \mathcal V \end{align}$ wenn gilt: $\begin{align} \mathcal W\neq\emptyset \end{align}$ (das ist wichtig und steht bei dir noch nicht) Für alle $\begin{align} u,v\in\mathcal W \end{align}$ ist auch $\begin{align} u+v\in\mathcal W \end{align}$ (d.h. die Teilmenge $\begin{align} \mathcal W \end{align}$ ist abgeschlossen bezüglich der Addition). Für alle $\begin{align} u\in\mathcal W,\lambda\in K \end{align}$ ist auch $\begin{align} \lambda\cdot u\in\mathcal W \end{align}$ (d.h. die Teilmenge $\begin{align} \mathcal W \end{align}$ ist abgeschlossen bezüglich der skalaren Multiplikation). Zunächst einmal solltest du klären, ob deine Menge $\begin{align} E \end{align}$ nicht-leer ist. Üblicherweise überprüft man dafür, ob der Nullvektor in der Menge enthalten ist (damit es sich bei der Menge um einen Unterraum handelt, muss dieser sowieso in der Menge liegen; tut er das nicht, kann man sich also die weitere Arbeit sparen). Danach solltest du dir zwei beliebige Elemente $\begin{align} u,v \end{align}$ aus $\begin{align} E \end{align}$ und einmal die Summe $\begin{align} u+v \end{align}$ bilden. Dann kannst du dir Gedanken machen, ob diese Summe ebenfalls in der Menge $\begin{align} E \end{align}$ liegt.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »