Wurzelkriterium richtig?

19.11.2015, 22:06

knallschmand

Wurzelkriterium richtig?

Moin, ich habe hier die Folge

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=-1}^{\infty } \frac{n}{n^3-2} \end{eqnarray*}$

Ich wollte mal fragen ob ich das Wurzelkriterium hier richtig anwende:

Also erstmal Indexshift

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{n-1}{(n-1)^3-2} \end{eqnarray*}$

Einmal (n-1) rauskürzen

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{1}{(n-1)^2-2} \end{eqnarray*}$

Und jetzt Wurzelkriterium

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{1}{(n-1)^2-2}} \end{eqnarray*}$

Hier sieht man, dass der Ausdruck betragsäßig <1 ist und deshalb konvergiert die Reihe.

Also wäre nett wenn da mal jemand rüberschaut, ich weiß nicht, ob ich das so richtig gemacht habe

LG

19.11.2015, 22:30

Mulder

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RE: Wurzelkriterium richtig?

Zitat:

Original von knallschmand
Einmal (n-1) rauskürzen

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{1}{(n-1)^2-2} \end{eqnarray*}$

So kannst du doch nicht kürzen. unglücklich

Wenn, dann stünde dort danach

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{1}{(n-1)^2-\frac{2}{n-1}} \end{eqnarray*}$

Und ich glaube nicht, dass du daran nun deine helle Freude hättest. Zumal das Ding auch gar nicht definiert wäre (durch null teilen und so). Also versuch mal was anderes.

19.11.2015, 22:37

knallschmand

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Argh das ist natürlich blöd, ich schieb´ das jetzt mal auf die Uhrzeit Big Laugh

Nächster Versuch:

Ich wende einfach auf den Ausdruck das Wurzelkriterium an.

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{(n-1)}{(n-1)^3-2}} \end{eqnarray*}$

Der wird trotzdem <1 , richtig?
Da $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{(n-1)} \end{eqnarray*}$ ja auf jeden Fall eins wird für n gegen unendlich..

Wie sieht es jetzt aus?

20.11.2015, 08:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von knallschmand
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=-1}^{\infty } \frac{n}{n^3-2} \end{eqnarray*}$

Gemeint ist vermutlich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=-1}^{\infty } \frac{n}{n^3-2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=-1}^{\infty } \frac{k}{k^3-2} \end{eqnarray*}$ . smile

Zitat:

Original von knallschmand
Der wird trotzdem <1 , richtig?

Was wird kleiner 1? Der Ausdruck oder dessen Grenzwert?
Offen gesagt: hier kommst du weder mit Wurzel- noch mit Quotientenkriterium weiter. Ich würde es mal mit dem Majorantenkriterium versuchen. Augenzwinkern

20.11.2015, 09:00

knallschmand

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Ich meinte eigentlich den Grenzwert.Warum klappt das denn nicht?
Ich probiere das gleich dann nocheinmal.
Danke

20.11.2015, 09:08

klarsoweit

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Wenn der Grenzwert 1 ist (und das ist hier der Fall), dann gibt es eben kein positives q < 1, so daß $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\left | \frac{(n-1)}{(n-1)^3-2} \right |} \end{eqnarray*}$ dauerhaft < q ist.
Und genau das wird im Wurzelkriterium verlangt. Augenzwinkern

20.11.2015, 11:59

knallschmand

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Okay, stimmt.

Dann Majorantenkriterium...

Ich habe leider probleme das nach oben abzuschätzen.

Also das ist meine Folge

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{n-1}{(n-1)^3-2} \end{eqnarray*}$

Spontan fällt mir jetzt dazu nur ein:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{n-1}{(n-1)^3-2} < \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{n}{(n-1)^3-2} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich hier eine geeignete Majorante finden?

LG

20.11.2015, 12:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von knallschmand
Also das ist meine Folge

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{n-1}{(n-1)^3-2} \end{eqnarray*}$

Ich hatte schon darauf hingewiesen, daß der Laufindex "n" heißen muß.

Zum Abschätzen packen wir den Holzhammer raus. Und damit wir keinen Streß mit Null im Nenner bekommen und damit die Abschätzung auch gültig ist, starten wir bei n = 3:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=3}^{\infty } \frac{n-1}{(n-1)^3-2} \leq \sum\limits_{n=3}^{\infty } \frac{n-1}{(n-1)^3- \frac 1 2 (n-1)^3} \end{eqnarray*}$

Der Rest ist eigentlich offensichtlich. Augenzwinkern

20.11.2015, 13:25

knallschmand

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hey klarsoweit, danke für deine Antwort,

leider ist mir noch nicht alles klar.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=3}^{\infty } \frac{n-1}{(n-1)^3- \frac 1 2 (n-1)^3} \end{eqnarray*}$

Hier kann ich jetzt aber kürzen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=3}^{\infty } \frac{1}{\frac{1}{2}(n-1)^2 } \end{eqnarray*}$

Bringt mir das was?
Ich könnte jetzt noch binomische Formel etc. aber ich sehe nichts, was mich an das Bild einer bekannten konvergenten Reihe erinnert unglücklich

EDIT: Und noch ne Frage: Macht es keine Unterschied die Summe erst bei 3 starten zu lassen?Muss man dann nicht auch noch die n durch (n-3) ersetzen?

20.11.2015, 13:56

Bjoern1982

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Zitat:

aber ich sehe nichts, was mich an das Bild einer bekannten konvergenten Reihe erinnert

Nur schon mal als Information für deinen Helfer klarsoweit (wenn er es nachher liest), stelle ich dir mal die folgende Frage:

Welche konvergenten Reihen sind dir denn bekannt ?

20.11.2015, 14:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von knallschmand
EDIT: Und noch ne Frage: Macht es keine Unterschied die Summe erst bei 3 starten zu lassen?Muss man dann nicht auch noch die n durch (n-3) ersetzen?

Nein. Für die reine Untersuchung der Reihenkonvergenz darfst du endlich viele Summanden weglassen. Augenzwinkern

20.11.2015, 14:51

knallschmand

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Okay..Also war der indexshift unnötig?Oder darf die Reihe nicht bei negativen n anfangen?
Und welche Reihen kenne ich:
Also die Geometrische Reihe ist mir bekannt.Und die harmonische Reihe auch.

Zum Thema: ist es nicht so, dass 1/n^2 gegen pi/6 konvergiert?
Dann wäre es ja nach oben abgeschätzt durch 1/n^2 und damit konvergent?

20.11.2015, 15:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von knallschmand
Okay..Also war der indexshift unnötig?

Für die Konvergenz ja.

Zitat:

Original von knallschmand
Oder darf die Reihe nicht bei negativen n anfangen?

Doch, darf sie.

Zitat:

Original von knallschmand
Zum Thema: ist es nicht so, dass 1/n^2 gegen pi/6 konvergiert?

Nun ja, die zugehörige Reihe. Augenzwinkern

Zitat:

Original von knallschmand
Dann wäre es ja nach oben abgeschätzt durch 1/n^2 und damit konvergent?

Im Prinzip ja, aber das muß natürlich korrekt abgeschätzt werden, damit es paßt. smile

20.11.2015, 19:12

knallschmand

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Ich komm momentan echt nicht drauf unglücklich

21.11.2015, 14:38

knallschmand

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Noch mal ne Frage zum Thema:

Also um die Konvergenz zu untersuchen ist es "relativ egal" wo die Reihe anfängt, richtig?
D.h. doch, dass ich den Index ganz bewusst verschieben kann, um mir den Umgang mit dem Term zu erleichtern, oder?

LG

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